有四个自然数,其中每个数都不能被另外三个数整除,但其中任意两个数的积可以被另外两个数整除.这四个数和最小是多少?(⊙_⊙?)
有四个自然数,其中每个数都不能被另外三个数整除,但其中任意两个数的积可以被另外两个数整除.这四个数和最小是多少?(⊙_⊙?)
有四个自然数,其中每个数都不能被另外三个数整除,但其中任意两个数的积可以被另外两个数整除.
这四个数和最小是多少?(⊙_⊙?)
有四个自然数,其中每个数都不能被另外三个数整除,但其中任意两个数的积可以被另外两个数整除.这四个数和最小是多少?(⊙_⊙?)
这四个数是四个互质数中三个数组合后的乘积.四个最小的互质数是:2,3,5,7
要求的四个数分别为
2×3×5=30
2×3×7=42
2×5×7=70
3×5×7=105
和为30+42+70+105=247
假设四个数为A,B,C,D,首先证明以下几个引理:
1.A,B,C,D没有公共素因子:
这个很简单,若A,B,C,D都能被x整除,则A/x,B/x,C/x,D/x也满足条件,那么四数和不是最小
2.若a是ABCD的素因子,而A没有这个素因子,那么B,C,D必然都包含这个素因子:
假设B不包含这个素因子,而C包含(C,D中至少一个包含,假设是C),那么C不能整除AB<...
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假设四个数为A,B,C,D,首先证明以下几个引理:
1.A,B,C,D没有公共素因子:
这个很简单,若A,B,C,D都能被x整除,则A/x,B/x,C/x,D/x也满足条件,那么四数和不是最小
2.若a是ABCD的素因子,而A没有这个素因子,那么B,C,D必然都包含这个素因子:
假设B不包含这个素因子,而C包含(C,D中至少一个包含,假设是C),那么C不能整除AB
在1、2两条引理的联合证明下,必有:
A,B,C,D每个数,均至少对应这样一个素因子,它不包含这个素因子,但是其他数均包含。这样我们可以得到A,B,C,D至少要满足的模型。
A=b*c*d*……
B=a*c*d*……
C=a*b*d*……
D=a*b*c*……
不难看出,
A=b*c*d
B=a*c*d
C=a*b*d
D=a*b*c,时A+B+C+D最小,而最小的四个素数是2,3,5,7因此这四个数就是
30,42,70,105,和为247
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