在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值AB,AM,AC,AN为向量,m,n为实数是交AB延长线与线段AC于MN两点
在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值AB,AM,AC,AN为向量,m,n为实数是交AB延长线与线段AC于MN两点
在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值
AB,AM,AC,AN为向量,m,n为实数
是交AB延长线与线段AC于MN两点
在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值AB,AM,AC,AN为向量,m,n为实数是交AB延长线与线段AC于MN两点
当M与N在BC的同一侧时m+n=1
当M与N不在BC的同一侧时m+n=2
做法是延长AO到D,使OD=AO,连结BD,CD就可以很容易看出.注意的是相交有两种不同情况,就是M与N可以在BC同侧也可以在异侧
过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N,是一条直线交AB与AC延长线于MN两点或交AB延长线与AC于MN两点,还是有两条直线
【向量法解答】
向量AO=AB+BO=AB+1/2BC
= AB+1/2*(AC-AB)= 1/2*(AB+AC)
=1/2*mAM+1/2*nAN……①
又因向量AO= AM+MO= AM+λMN
=AM+λ(AN-AM)
=(1-λ) AM +λAN……②
比较①②两式可知:1/2*m=(1-λ),1/2*n=λ,
所以m+n=2...
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【向量法解答】
向量AO=AB+BO=AB+1/2BC
= AB+1/2*(AC-AB)= 1/2*(AB+AC)
=1/2*mAM+1/2*nAN……①
又因向量AO= AM+MO= AM+λMN
=AM+λ(AN-AM)
=(1-λ) AM +λAN……②
比较①②两式可知:1/2*m=(1-λ),1/2*n=λ,
所以m+n=2(1-λ) +2λ=2.
本题是平面几何为背景的向量问题,这里用到了向量的两个基本结论,
一个是三角形底边中线向量与两腰向量之间关系,即:AO=1/2(AB+AC),
第二个是三点共线向量表示的充要条件,即M,O,N共线有:AO=λAM+μAN,
且λ+μ=1.应用这两个结论有:AO=1/2(AB+AC)=1/2(mAM+nAN),
比较系数得:λ=m/2,μ=n/2,所以m+n=2(λ+μ)=2.
【几何法解答】
延长AO至A'使AO=A'O,链接A'C交MN 于M'
三角形OBM 与三角形OCM'全等,BM= CM'
三角形NAM 与三角形NCM'相似,
NC/AN = CM'/AM
(AN-AC)/AN = (AB-AM)/AM
n-1 = 1-m
m+n = 2
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