求所有满足如下条件的三位数；它除以11所得的商等于它的各位数的平方和.

求所有满足如下条件的三位数；它除以11所得的商等于它的各位数的平方和.
求所有满足如下条件的三位数；它除以11所得的商等于它的各位数的平方和.

求所有满足如下条件的三位数；它除以11所得的商等于它的各位数的平方和.
个a十b百c
1
如果这个三位数能被11整除
那么a+c=b
(100c+10b+a)=(a^2+b^2+c^2)*11
100c+10c+11a=11a^2+11a^2+11c^2+22ac+11c^2
110c+11a=22a^2+22c^2+22ac
10c+a=2a^2+2c^2+2ac
b0
c=1,11>100+10b+a-11a^2-11b^2-11>0
a=1 11>10b-11b^2+79>=0,b=3,131
c=2,11>10b-11b^2+a-11a^2+156>0
a=1,11>10b-11b^2+146>=0,b=4 241
c=3,11>10b-11b^2+a-11a^2+201>0 a=4,b=2有解,324
c=4,11>10b-11b^2+a-11a^2+224>0 无解
c=5,11>10b-11b^2+a-11a^2+225>0无解
c=6,11>10b-11b^2+a-11a^2+204>0 a=4,b=2,624
c=7,11>10b-11b^2+a-11a^2+161>0 无解
c=8,11>10b-11b^2+a-11a^2+96>0 a=3,b=0,803
c=9,11>10b-11b^2+a-11a^2+9>0 a=0,b=0,b=1,900,910
3)
可整除的仅1个550,不能整除的7个:131\241\324\624\803\900\901

550 803 就2个

设三个数字依次x,y,z 则100x+10y+z=11(x^2+y^2+z^2)
化为 99x+11y+z+x-y=11(x^2+y^2+z^2)
所以z+x-y=0 或11 （1）z+x-y=0时，y=z+x 且9x+y=x^2+y^2+z^2
代入得：10x+z=2x^2+2xz+2z^2 所以 z是偶数， 且 10x>...

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设三个数字依次x,y,z 则100x+10y+z=11(x^2+y^2+z^2)
化为 99x+11y+z+x-y=11(x^2+y^2+z^2)
所以z+x-y=0 或11 （1）z+x-y=0时，y=z+x 且9x+y=x^2+y^2+z^2
代入得：10x+z=2x^2+2xz+2z^2 所以 z是偶数， 且 10x>=2x^2 ==> x<=5
设z=2n 则 x^2+(2n-5)x+4n^2-n=0
若n>=1则 $=(2n-5)^2-4(4n^2-n)=-12n^2-16n+25<-12-16+28<0
所以 只能 n=0,且x=5,y=5+0=5 三位数是 550；（1）z+x-y=0时，y=z+x 且9x+y=x^2+y^2+z^2
代入得：10x+z=2x^2+2xz+2z^2 所以 z是偶数， 且 10x>=2x^2 ==> x<=5
设z=2n 则 x^2+(2n-5)x+4n^2-n=0
若n>=1则 $=(2n-5)^2-4(4n^2-n)=-12n^2-16n+25<-12-16+28<0
所以 只能 n=0,且x=5,y=5+0=5 三位数是 550；
（2）（1）z+x-y=11时，y=z+x-11 且9x+y+1=x^2+y^2+z^2
代入得：10x+z-10=2x^2+2xz+2z^2 -22x-22z+121
所以 z是奇数， 且 z+x>=11且10x>x^2+z^2>=(x+z)^2/2>=61
所以 x>=6 且z>=3 x=6时，50+z=36+z^2+(z-5)^2 ==>2z^2-11z+11=0
$=11^2-4*2*11=33 无整数解
X=7时，60+z=49+z^2+(z-4)^2 ==>2z^2-9z+5=0 解得：$=9^2-4*2*5=41 无整数解
X=8时，70+z=64+z^2+(z-3)^2 ==>2z^2-7z+3=0 解得：$=7^2-4*2*3=25 z=3或1/2（舍）三位数是803
x=9时，80+z=81+z^2+(z-2)^2 ===>2z^2-5z+5=0 $=5^2-4*2*5=-15 无实数解
总之 三位数是550 或803

收起

131
241
324
550
624
803
900
910

550