如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于点O,∠AOB=∠COD=60度,P、E、F分别为BC、OA、OD的中点,（1）PE=PF（2）求∠EPF的度数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 08:59:33

如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于点O,∠AOB=∠COD=60度,P、E、F分别为BC、OA、OD的中点,（1）PE=PF（2）求∠EPF的度数
如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于点O,∠AOB=∠COD=60度,P、E、F分别为BC、OA、OD的中点,（1）PE=PF
（2）求∠EPF的度数

如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于点O,∠AOB=∠COD=60度,P、E、F分别为BC、OA、OD的中点,（1）PE=PF（2）求∠EPF的度数
证明：连结BE、CF
在等腰梯形ABCD中底角相等可知
角OAB=角OBA 角DOC=角COD
又角AOB=60度根据对顶角相等知
角COD=60度
所以三角形AOB和三角形COD为正三角形
因为E为AO中点
所以BE为三角形AOB边AO的中线
所以BE垂直AO
在三角形BEC中角BEC=90°
因为P为斜边BC中点
所以EP=1/2BC
同理FP=1/2BC
又因为F、E为OD,OA中点
所以EF为边AD的中位线即EF=1/2AD
因为AD=BC
所以EP=FP=EF
因此△EFP是等边三角形
所以,（1）PE=PF
（2）∠EPF=60°

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过F做PC的平行线交DC于G
因为PF//DC，G在DC上，所以PF//GC
又FG//PC故四边形FGCP是个平行四边形（两对边分别平行的四边形是平行四边形）
所以FG=PC(1)，FP=GC(2) (平行四边形两对边分别相等）
因为这是个等腰梯形，所以角DBC=角ACB（这个虽然不能直接得出，但是你肯定知道为什么）
又FG//PC且P在BC上，所以FG//BC，所以角DFG=角DBC=角ACB（3）
因为EP//AB，所以角EPC=角ABC，且等腰梯形中两底角相等即角ABC=角DCB就等于角EPC
因为FG//BC，所以角DGF=角DCB
因为角DCB还等于角EPC，所以角DGF=角EPC（4）
在三角形DGF和三角形EPC中有（1），（3），（4）即满足两个三角形两角及其所夹边对应相等，所以这两个三角形全等
则有EP=DG，且在平行四边形FGCP中有FP=GC，又GC+DG=DC
所以PE+PF=DC，这是个等腰梯形，AB=DC，所以PE+PF=AB

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