作业帮已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 （1）求点A1到平面EBFD1的距离（2）求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 00:12:32
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 （1）求点A1到平面EBFD1的距离（2）求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 （1）求点A1到平面EBFD1的距离
（2）求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 （1）求点A1到平面EBFD1的距离（2）求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值
如图所示,取BB1的中点G,过G作GH⊥D1B于H
因为EBFD1关于D1B轴对称,且与面D1BB1垂直,所以GH等于A1到面EBFD1的距离
因为D1B=√3 a , D1B1=√2 a , 所以sin∠D1BB1=√6 /3
又由于GB=a/2 , GH/GB=sin∠D1BB1=√6 /3
所以GH=√6a/6
即求A1到平面EBFD1的距离是√6a/6
（2）向量法
建立以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴的空间直角坐标
A1(a,0,a)D1(0,0,a) B(a,a,0) E(a,0,1/2a)
向量D1A1=（a,0,0)
向量D1E=(a,0,-1/2a)
向量D1B=(a,a,-a)
设向量a是平面EBFD1的法向量
向量a·向量D1E=0
向量a·向量D1B=0
不妨设向量a=(a,a,2a)
cos<向量D1A1,向量a>
=a^2/√a^2*√(6a^2)=√6/6
A1D1与平面EBFD1所成角的正弦值=√（1-1/6）=√30/6
（1）连结EF、A1C1，易证A1C1∥EF，即 A'C'∥平面EBFD1，所以A、P到此平面的距离相等； ∵ P是A1C1的中点、O是EF的中点，∴ PO⊥EF、D1O⊥EF，∴ EF⊥平面D1PO； ∴ P到平面EBFD1即RT△D1PO斜边D1O上的高； 从图上不难看出，PO=a/2，正方体对角线之半 D1P=√2a/2，正方体对角线之半 D1O=√3a/2； ∴ 斜边D1O上的高=(a/2)*(√2a/2)/(√3a/2)=√6a/6；即 A到EBFD1的距离等于 √6a/6； （2）∵ B1C1∥A1D1，∴ A1D1、B1C1与平面EBFD1的夹角相同； ∵ B1B=2倍A1E=2倍C1F，∴ B1到EBFD1的距离=2倍A1到EBFD1的距离=2倍C1到EBFD1的距离； ∴ B1C1与EBFD1夹角的正弦=B1与C1到平面EBFD1的距离差/B1C1=(√6a/6)/a=√6/6；
根据题意作右图，其是O是正方体的中心，P是A1C1的中点；