作业帮三角形ABC中,A,B,C所对的边a,b,c成等差数列,且最大角是最小角的2倍,则cosA+cosC=
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 01:18:49
三角形ABC中,A,B,C所对的边a,b,c成等差数列,且最大角是最小角的2倍,则cosA+cosC=
三角形ABC中,A,B,C所对的边a,b,c成等差数列,且最大角是最小角的2倍,则cosA+cosC=
三角形ABC中,A,B,C所对的边a,b,c成等差数列,且最大角是最小角的2倍,则cosA+cosC=
2sinb=sina+sinc
不妨设a为最大角,则c为最小角,那么c
∵ A,B,C所对的边a,b,c成等差数列
∴(1)b=2(a+c).(2)2C=A或C=2A
1]当C=2A时，正弦定理得 c/a=sinC/sinA=2cosA （2）
由余弦定理 cosA=c/(2a)
同理：cosC/2=c/(2a)
=>cosC=2cos²C/2-1=(2c²-4a²)/4a²
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∵ A,B,C所对的边a,b,c成等差数列
∴(1)b=2(a+c).(2)2C=A或C=2A
1]当C=2A时，正弦定理得 c/a=sinC/sinA=2cosA （2）
由余弦定理 cosA=c/(2a)
同理：cosC/2=c/(2a)
=>cosC=2cos²C/2-1=(2c²-4a²)/4a²
=>cosA+cosC=(2c²-4a²+2ac)/4a²=(c-a)(c+2a)/2a²
2]当2C=A时,同上。
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不妨设a>b>c，则∠A>∠B>∠C
边a,b,c成等差数列，2b=a+c，故2sinB=sinA+sinC
又有 ∠A=2∠C , 不妨设 ∠C=θ , 则∠A=2θ，∠B=π-3θ
sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=2sin(3θ/2)cos(θ/2)
sinB=sin(π-3θ)=2sin(3θ/2)cos(3θ/2)
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不妨设a>b>c，则∠A>∠B>∠C
边a,b,c成等差数列，2b=a+c，故2sinB=sinA+sinC
又有 ∠A=2∠C , 不妨设 ∠C=θ , 则∠A=2θ，∠B=π-3θ
sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=2sin(3θ/2)cos(θ/2)
sinB=sin(π-3θ)=2sin(3θ/2)cos(3θ/2)
∵sinA+sinC=2sinB
∴2sin(3θ/2)cos(θ/2)=4sin(3θ/2)cos(3θ/2)
∴cos(θ/2)=2cos(3θ/2)
cosA+cosC=cos2θ+cosθ=2cos(3θ/2)cos(θ/2)=cos²(θ/2)=(1+cosθ)/2
∴(1+cosθ)/2=cos2θ+cosθ=2cos²θ-1+cosθ
∴4cos²θ+cosθ-3=0
cosθ=3/4或-1(舍去)
最终有 cosA+cosC=(1+cosθ)/2=7/8
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