作业帮在椭圆x^2/8+y^2/2=1上有A,B两点,|AB|长为2,右焦点为F,求S三角形AOB面积最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:03:41
在椭圆x^2/8+y^2/2=1上有A,B两点,|AB|长为2,右焦点为F,求S三角形AOB面积最小值
在椭圆x^2/8+y^2/2=1上有A,B两点,|AB|长为2,右焦点为F,求S三角形AOB面积最小值
在椭圆x^2/8+y^2/2=1上有A,B两点,|AB|长为2,右焦点为F,求S三角形AOB面积最小值
设过A、B点直线为y=kx+b,由三角形公式 S△AOB=1/2*d*|AB|,d为O到直线AB的距离,
|AB|为定值,这里只要求出最小距离d即可.
由点到直线距离公式得d=|b|/√(1+k^2),d^2=b^2/(1+k^2),求出b与k的关系即可,
将y=kx+b代入椭圆方程x^2/8+y^2/2=1,化简后有
(1+4k^2)x^2+8kbx+4b^2-8=0 (1)
得与椭圆两个交点x（即A、B点）值：x1+x2=-8kb/(1+4k^2),x1*x2=(4b^2-8)/(1+4k^2)
同理由y=kx+b得x=(y-b)/k,也代入椭圆方程x^2/8+y^2/2=1,化简后有
(1+4k^2)y^2-2by+b^-8k^2=0 (2)
得与椭圆两个交点y（即A、B点）值：y1+y2=2b/(1+4k^2),y1*y2=(b^2-8k^2)/(1+4k^2)
由|AB|=2知,|AB|^2=(x1-x2)^+(y1-y2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2+(y1+y2)^2-4y1*y2=4
将（1）、（2）式所得的x1+x2,x1*x2及y1+y2,y1*y2代入,化简得到
b^2=(16k^4+32k^2+7)/[4(k^2+1) ] (3)
所以有
d^2=b^2/(1+k^2)
=(16k^4+32k^2+7)/[4(k^2+1)^2]
=4-9/[4(k^2+1)^2 ] (4)
由（4）式可以看出,d^2随k^2增大而增大,当k=0时,有最小值d^2=7/4,即d=√7/2
所以S△AOB最小值=1/2*d*|AB|=1/2*√7/2*2=√7/2