作业帮求微分方程y''-2y'=e^2x的通解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/19 12:37:14
求微分方程y''-2y'=e^2x的通解
求微分方程y''-2y'=e^2x的通解
求微分方程y''-2y'=e^2x的通解
特征方程
r^2-2r=0
r=0,r=2
所以齐次通解为
y=C1x+C2e^(2x)
由于非齐次右边含在齐次通解中,所以设特解为
y=axe^(2x)
y'=ae^(2x)+2axe^(2x)
y''=4ae^(2x)+4axe^(2x)
代入原方程得
4ae^(2x)+4axe^(2x)-2[ae^(2x)+2axe^(2x)]=e^(2x)
整理比较系数得
2a=1
a=1/2
所以特解是
y=1/2xe^(2x)
原方程的通解是
y=C1x+C2e^(2x)+1/2xe^(2x)
楼上错了
先求齐次解
y''=2y'=0
特征根方程
r^2-2r=0
r=0,2
两个线性无关解为e^(rx)
为e^0,e^(2x)，即1,e^(2x)
所以，注意了
y=A+ B e^(2x)
(注意第一项没有x)
所以错了
此处可以由简单变量代换简化求解过程
令z=y'
原方程变...
全部展开
楼上错了
先求齐次解
y''=2y'=0
特征根方程
r^2-2r=0
r=0,2
两个线性无关解为e^(rx)
为e^0,e^(2x)，即1,e^(2x)
所以，注意了
y=A+ B e^(2x)
(注意第一项没有x)
所以错了
此处可以由简单变量代换简化求解过程
令z=y'
原方程变为
z'-2z=e^(2x)
两边同乘e^(-2x)
得到
e^(-2x)z'-2e^(-2x)z=1
发现左边是个全微分
d(ze^(-2x))/dx=1
(全微分得到z'e^(-2x)+ze^(-2x)*(-2))
所以d(ze^(-2x))=dx
两边积分
ze^(-2x)=x+A
z=xe^(2x)+Ae^(2x)
dy/dx=xe^(2x)+Ae^(2x)
dy=[xe^(2x)+Ae^(2x)]dx
两边积分
y=B+Ae^(2x)+(1/2)x^e^(2x)-(1/4)e^(2x)
=B+Ae^(2x)+(1/2)x^e^(2x) (重新定义常数A=A-1/4)
收起