作业帮在三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.M,N是BC上任意两点,且∠MAN=45°,证明MN²=BM²+NC²
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 00:51:55
在三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.M,N是BC上任意两点,且∠MAN=45°,证明MN²=BM²+NC²
在三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.M,N是BC上任意两点,且∠MAN=45°,证明MN²=BM²+NC²
在三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.M,N是BC上任意两点,且∠MAN=45°,证明MN²=BM²+NC²
【思路:把BM,MN,CN通过添加辅助线,使三条线段转移到同一个三角形中去.】
证明:作∠MAP=90°,使AP=AM(点P与M在AN两侧).连接PN,PC.
∵∠MAN=45°.
∴∠MAN=∠PAN;又AP=AM,AN=AN.则:⊿PAN≌⊿MAN(SAS),PN=MN.
∵∠MAP=∠BAC=90°.
∴∠PAC=∠BAM;又AP=AM,AC=AB.则⊿PAC≌⊿MAB(SAS),CP=BM;∠ACP=∠B=45°.
则:∠ACB+∠ACP=90°,PN²=CP²+NC².
所以,BM²=BM²+NC².(等量代换)
这题当初我班只有几个人做出来
M 应在 B 附近，点 N 应在 C 附近，BM^2 + CN^2 = MN^2 才可能成立。
证明：用“翻折法”。
沿着 AM 将 △ABM 翻折，AB 的位置变为 AE, B 的位置变为 E，则
△ABM≌△AEM；∠BAM =∠EAM ，∠MEA = 45度， EM = BM；--------------(1)
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这题当初我班只有几个人做出来
M 应在 B 附近，点 N 应在 C 附近，BM^2 + CN^2 = MN^2 才可能成立。
证明：用“翻折法”。
沿着 AM 将 △ABM 翻折，AB 的位置变为 AE, B 的位置变为 E，则
△ABM≌△AEM；∠BAM =∠EAM ，∠MEA = 45度， EM = BM；--------------(1)
再沿着 AN 将 △ACN 翻折, AC 的位置变为 AF, C 的位置变为 E'，则
△ACN≌△AE'N；∠CAN =∠E'AN ，∠NE'A = 45度， E'N = CN；----------(2)
因为∠MAN = 45度，故 ∠BAM + ∠CAN = 45度, 即有∠EAM + ∠E'AN = 45度，所以 E、E' 重合(于 E 点)！于是∠MEN = ∠MEA +∠NEA = 90度，再由勾股定理及(1)(2)的结论得EM^2 + EN^2 = MN^2，即有 BM^2 + CN^2 = MN^2。
注：用到(2)的结论时， E' 换成 E。
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