作业帮已知三角形ABC中,分别以AB,AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直BC于点N,求证【1】点N是BC 的中点.【2】MN等于BC的二分之一
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 06:14:40
已知三角形ABC中,分别以AB,AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直BC于点N,求证【1】点N是BC 的中点.【2】MN等于BC的二分之一
已知三角形ABC中,分别以AB,AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直BC于点N,求证【1】点N是BC 的中点.【2】MN等于BC的二分之一
已知三角形ABC中,分别以AB,AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直BC于点N,求证【1】点N是BC 的中点.【2】MN等于BC的二分之一
如图.设AB＝a（向量）, BD＝a', AC＝b, CF＝b'.
BC＝b-a.设BN＝tBC＝t（b-a）.FD＝FC+CB+BD＝-b'+a-b+a'
MD＝FD/2＝-b'/2+a/2-b/2+a'/2.
MN＝MD+DB+BN＝-b'/2+a/2-b/2+a'/2-a'+t（b-a）
＝（1/2-t）a-（1/2-t）b-a'/2-b'/2
MN⊥BC:[（1/2-t）a-（1/2-t）b-a'/2-b'/2]·（b-a）＝0
展开,化简,注意a'·b＝b'·a（上图,夹角相等）,得到：
（1/2-t）2a·b-（1/2-t）（a²+b²）＝（1/2-t）（a-b）²＝（1/2-t）CB²＝0
t＝1/2,N是BC中点[【1】成立]
【2】 MN＝-a'/2-b'/2,注意a'·b'＝-a·b[夹角互补]
MN²＝[a'²+2a'·b'+b'²]/4＝（a²-2ab+b²）/4＝[BC/2]²,MN＝BC/2.
