作业帮已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 23:38:16
已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明
已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1
设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明.
已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明
过定点（0,0）.
思路提示：先特殊,后一般.
先考虑动点在椭圆的顶点上,取点（2,0）,
设两直线方程分别为：y=k(x-2),y=-1/4k*(x-2),
代入椭圆的方程：x^2/4+y^2=1,得：
M(2(4k^2-1)/(4k^2+1),-4k/(4k^2+1)),N(2(1-4k^2)/(4k^2+1),4k/(4k^2+1))
可知MN过（0,0）.（ MN的中点为（0,0） ）
同理取其他顶点,也可知：MN过（0,0）.
再考虑动点不在椭圆的顶点上,
设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)
有 x0^2/4+y0^2=1,.（1）
x1^2/4+y1^2=1.（2）
x2^2/4+y2^2=1.（3）
(1)-(2)：-1/4*(x0-x1)(x1+x0)=(y0-y1)(y0+y1)
(y0-y1)/(x0-x1)=-1/4*[(x0+x1)/(y0+y1)]=k1
(1)-(3)：-1/4*(x0-x2)(x2+x0)=(y0-y2)(y0+y2)
(y0-y2)/(x0-x2)=-1/4*[(x0+x2)/(y0+y2)]=k2
k1*k2=-1/4
[(y0-y1)/(x0-x1)]*[(y0-y2)/(x0-x2)]=[(y0^2+y1y2)-(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)-(x1+x2)x0]=-1/4
[(y0^2+y1y2)+(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)+(x1+x2)x0]=-1/4
利用比的性质,得：
(y0^2+y1y2)/(x0^2+x1x2)=(y1+y2)y0/(x1+x2)x0=-1/4
y1+y2=-1/4*(y0/x0)*(x1+x2) （ MN中点为：( (y1+y2)/2,(x1+x2)/2) ）
所以 y=-1/4(y0/x0)*x
所以此即为直线MN的方程,其过点（0,0）.
用向量来证