设函数y=sinx+cosx+sinxcosx(0≦x≦90º),求此函数得值域.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 11:48:29

设函数y=sinx+cosx+sinxcosx(0≦x≦90º),求此函数得值域.
设函数y=sinx+cosx+sinxcosx(0≦x≦90º),求此函数得值域.

设函数y=sinx+cosx+sinxcosx(0≦x≦90º),求此函数得值域.
这样的题一般先变形,考虑三角恒等式：(sina±cosa)^2=1±2sinacosa
所以
sinx+cosx+sinxcosx
=sinx+cosx+[(sinx+cosx)^2-1]/2
令t=sinx+cosx=√2*(sinx*√2/2+cosx*√2/2)=√2sin(x+π/4),显然-√2≤t≤√2,故转化为求
f(t)=t+(t^2-1)/2=(t+1)^2/2-1,-√2≤t≤√2的值域.
-√2+1≤t+1≤√2+1
0≤(t+1)^2≤(√2+1)^2
-1≤f(t)=(t+1)^2/2-1≤(√2+1)^2/2-1=1/2+√2
故y=sinx+cosx+sinxcosx的值域为[-1,1/2+√2]
当x=2kπ+π/4,k∈Z时取最大值；
当x=2kπ+π,k∈Z时取最小值.
不明白请追问

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