设锐角三角形abc的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.求cosA+sinC得取值范围?

设锐角三角形abc的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.求cosA+sinC得取值范围?
设锐角三角形abc的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.求cosA+sinC得取值范围?

设锐角三角形abc的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.求cosA+sinC得取值范围?
∵a=2bsinA\x0d
b/sinB=a/sinA=2b\x0d
sinB=1/2\x0d
B=30°,或150°
所以:cos[(B/2)-45°]=cos(-30°)=√(3)/2\x0d
或,cos[(B/2)-45°]=cos(30°)=√(3)/2\x0d
cosA+sinC=sin(90°-A)+sinC=2sin[45°-(A-C)/2]*cos[45°-(A+C)/2]\x0d
=2sin[45°-(A-C)/2]*cos[(B/2)-45°]\x0d
=√(3)*sin[45°-(A-C)/2]
当(A-C)/2=-45°, C-A=90°,cosA+sinC为最大值:√(3)
A-C=(A+C)-2C=180°-B-2C<180°-B≤180°-30°\x0d
(A-C)/2<75°\x0d
45°-(A-C)/2>45°-75°\x0d
45°-(A-C)/2>-30°\x0d
所以:cosA+sinC>√(3)*sin(-30°)\x0d
cosA+sinC>-√(3)/2\x0d
综合以上,得: -√(3)/2

因为a=2bsinA.
所以a/sinA=2b，由正弦定理得a/sinA=b/sinB
所以sinB=1/2，因为是锐角Δ
所以B=30，所以A+C=150
cosA+sinC=cosA+sin（150-A)=cosA+sin(A+30)=1.5cosA+√3/2sinA=√3sin（A+60）
因为是锐角Δ，所以A为锐角，所以A+60在（60，150）

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因为a=2bsinA.
所以a/sinA=2b，由正弦定理得a/sinA=b/sinB
所以sinB=1/2，因为是锐角Δ
所以B=30，所以A+C=150
cosA+sinC=cosA+sin（150-A)=cosA+sin(A+30)=1.5cosA+√3/2sinA=√3sin（A+60）
因为是锐角Δ，所以A为锐角，所以A+60在（60，150）
所以当A+60=90时，cosA+sinC有最大值√3
当A+60=150时，cosA+sinC有最小值√3/2（取不到）
所以cosA+sinC的取值为（√3/2，√3]

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