锐角三角形ABC中,已知cosA=cosαsinβ,cosB=cosβsinγ,cosC=cosγsinα,求tanαtanβtanγ的值

锐角三角形ABC中,已知cosA=cosαsinβ,cosB=cosβsinγ,cosC=cosγsinα,求tanαtanβtanγ的值
锐角三角形ABC中,已知cosA=cosαsinβ,cosB=cosβsinγ,cosC=cosγsinα,求tanαtanβtanγ的值

锐角三角形ABC中,已知cosA=cosαsinβ,cosB=cosβsinγ,cosC=cosγsinα,求tanαtanβtanγ的值


根据题目条件可构造如下图形

其中OA、OB、OC两两垂直
由三余弦定理
cos∠BAC＝ cosα cos∠BAO ＝ cosα sinβ
cos∠ABC＝ cosβ cos∠CBO ＝ cosβ sinγ
cos∠ACB＝ cosγ cos∠ACO ＝ cosγ sinα


∴tanαtanβtanγ = OC/OA*OA/OB*OB/OC = 1

cos(α+β)=sin(α-β)
cosacosb-sinasinb=sinacosb-cosasinb
cosacosb+cosasinb=sinacosb+sinasinb
cosa(cosb+sinb)=sina(cosb+sinb)
cosa=sina
tanα=1