已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9猜想An的通向公式 并用数学归纳法证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 08:47:12

已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9猜想An的通向公式 并用数学归纳法证明
已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9
已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9
猜想An的通向公式 并用数学归纳法证明

已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9猜想An的通向公式 并用数学归纳法证明
∵数列{a[n]}满足4a[n+1]-a[n]a[n+1]+2a[n]=9
∴(4-a[n])a[n+1]=9-2a[n]
即：a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)
∵a[1]=1
∴a[2]=7/3,a[3]=13/5,a[4]=19/7,...
∵分子是首项为1,公差为6的等差数列
∴猜想分子是：1+6(n-1)=6n-5
∵分母是首项为1,公差为2的等差数列
∴猜想分母是：1+2(n-1)=2n-1
∴猜想{a[n]}的通项公式是：a[n]=(6n-5)/(2n-1)
下面用数学归纳法来证明上述猜想公式成立：
当n=1时,左边=a[1]=1,右边=(6*1-5)/(2*1-1)=1,此时公式成立
设n=k时公式成立,即：a[k]=(6k-5)/(2k-1)
∵a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)
∴当n=k+1时,a[k+1]=(2a[k]-9)/(a[k]-4)
=[2(6k-5)/(2k-1)-9]/[(6k-5)/(2k-1)-4]
=[(-6k-1)/(2k-1)]/[(-2k-1)/(2k-1)]
=(6k+1)/(2k+1)
=[6(k+1)-5]/[2(k+1)-1],公式也成立
∴{a[n]}的通项公式：a[n]=(6n-5)/(2n-1)的猜想是正确的
再用不动点法给予验证：
∵a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)
令：x=(2x-9)/(x-4)
x^2-4x=2x-9
即：(x-3)^2=0
解得不动点：x=3
∴a[n+1]-3=(2a[n]-9/(a[n]-4)-3=(-a[n]+3)/(a[n]-4)
取倒数：1/(a[n+1]-3)=(4-a[n])/(a[n]-3)=1/(a[n]-3)-1
即：1/(a[n+1]-3)-1/(a[n]-3)=-1
∵a[1]=1
∴{1/(a[n]-3)}是首项为1/(a[1]-3)=-1/2,公差为-1的等差数列
即：1/(a[n]-3)=-1/2-(n-1)=(1-2n)/2
∴a[n]=2/(1-2n)+3=(5-6n)/(1-2n)=(6n-5)/(2n-1)
验证结果：猜想、数学归纳法、不动点法所得的{a[n]}通项公式完全一致
a[n]=(6n-5)/(2n-1)

归纳法就是闹着玩的 谁用啊

已知数列｛an｝满足a1=4/3,且an+1=4（n+1）an/3an+n 已知数列{an}中满足(An+1-An)(An+1+An)=16,且a1=1,an 已知数列an满足an=1+2+...+n,且1/a1+1/a2+...+1/an 已知数列{an}满足An+1=2^nAn,且A1=1,则通项an 已知数列｛an｝满足an=an+1 -lg2,且a1=1,则通项公式为? 已知数列{an}满足：an+1=an+n,且a61=2002,则a1等于 已知数列{an}满足3a(n+1)=2an-4,且a1=1/5,求an 已知数列{an}满足a1=1 an+1=an/(3an+1) 则球an 已知数列,an满足a1=1,a3+a7=18,且an-1+an+1=2an 已知数列an满足an+1/an=n+2/n且a1=1,则an= 已知数列{an}满足,an+2=an+1-an,且a10=-1,a9=0,求a1 已知数列[an]满足An+1=1+an /3-an ,且a1=1/3,求证数列[1/(an -1）]是等差数列,并求an 已知数列an中,满足a1=2,且an=4an-1-1/an-1+2,求an的通项公式 已知数列｛an｝满足an+1²=an²+4且a1=1.an＞0.则an=?急 已知数列{an}满足,a1=2,a(n+1)=3根号an,求通项an数列{an}满足:an>0,且根号下Sn=an+1/4,求通项an 已知数列{an}满足3an+1+an=4,a1=9,求通项公式. 数列｛an｝满足a1=1,且an=an-1+3n-2,求an 数列[An]满足An+1-An+3=0,且A1=-5.求An.