作业帮已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 08:52:39
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____
f(x-4)=-f(x)=f(-x)得
f(x)=f(4-x),故函数f(x)以x=(x+4-x)=2为对称轴.
f(x-8)=-f(x-4)=-[-f(x)]=f(x),故函数f(x)为周期为8的函数.
于是f(x)=f(4-x)=f(4-x-8*2)=f(-12-x),故x=(x-12-x)/2=-6也是函数f(x)的对称轴.
奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,故f(2)>0为其在区间的最大值.由于f(x)以x=2为对称轴,故在[2,4]上为减函数,且f(4)=0.再考虑f(x)为奇函数,则在一个周期[-4,4]上,有：
f(-4)=0,f(-2)=-f(2)取到最小值,在区间[-4,-2]单调递减；f(-2)=-f(2),f(0)=0,f(2)=f(2),在区间[-2,2]单调递增；f(2)=f(2)取到最大值,f(4)=0,在区间[2,4]单调递减.
经上述分析,结合周期为8作出图像,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则必有两根在[-8,-4]上,另两根在[0,4]上.由于[0,4]上两根以x=2为对称轴,[-8,-4]上两根以x=-6为对称轴,故四根之和x1+x2+x3+x4=2*2+(-6)*2=-8
f(x-4)=-f(x)
f[(x+4)-4]=-f(x+4)
∴f(x-4)=f(x+4)
f[(x-4)-4]=-f(x-4)=f(x)
即f(x)=f(x-8)
T=8f(-x-4)=f(4-x)=f(x-8)=f(x)
X1+X2+X3+X4=-8
8或-8
虑f(x)为奇函数，则在一个周期[-4,4]上，有：
f(-4)=0,f(-2)=-f(2)取到最小值,在区间[-4,-2]单调递减；f(-2)=-f(2),f(0)=0,f(2)=f(2),在区间[-2,2]单调递增；f(2)=f(2)取到最大值,f(4)=0,在区间[2,4]单调递减。
经上述分析，结合周期为8作出图像，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同...
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虑f(x)为奇函数，则在一个周期[-4,4]上，有：
f(-4)=0,f(-2)=-f(2)取到最小值,在区间[-4,-2]单调递减；f(-2)=-f(2),f(0)=0,f(2)=f(2),在区间[-2,2]单调递增；f(2)=f(2)取到最大值,f(4)=0,在区间[2,4]单调递减。
经上述分析，结合周期为8作出图像，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则必有两根在[-8,-4]上，另两根在[0,4]上。由于[0,4]上两根
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