作业帮已知函数f(x)的是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f（x)=-7x/x方+x+1（1）求当x〈0时,f(x)的解析式 （2）试确定函数y=f(x)（x≥0）的单调区间,并证明你的结论
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 23:36:49
已知函数f(x)的是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f（x)=-7x/x方+x+1（1）求当x〈0时,f(x)的解析式 （2）试确定函数y=f(x)（x≥0）的单调区间,并证明你的结论
已知函数f(x)的是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f（x)=-7x/x方+x+1
（1）求当x〈0时,f(x)的解析式 （2）试确定函数y=f(x)（x≥0）的单调区间,并证明你的结论
已知函数f(x)的是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f（x)=-7x/x方+x+1（1）求当x〈0时,f(x)的解析式 （2）试确定函数y=f(x)（x≥0）的单调区间,并证明你的结论
当x≥0时,f(x)=-7x/(x²+x+1)
(1)∵f(x)是偶函数
∴x＜0时,f(x)=f(-x)=-7*(-x)/[(-x)²+(-x)+1]=7x/(x²-x+1)
(2)
分类讨论：
1)当x=0时,f(x)=0
2)当x＞0时,f(x)=-7x/(x²+x+1)=-7/[x+(1/x)+1]
令u=x+(1/x)+1,则f(x)由f(u)=-7/u和u=x+(1/x)+1复合而成
在x＞0的范围内,u恒大于1,f(u)恒小于0,也就是说u的整个值域都在f(u)的单调递减区间上
∴根据复合函数的增减性,知
u=x+(1/x)+1递增时,f(x)递减,u=x+(1/x)+1递减时,f(x)递增
而x+(1/x)是典型的对构函数,在(0,1)递减,在(1,+∞)递增
∴f(x)的递增区间是(0,1),递减区间是（1,+∞)
3)当x＜0时,利用偶函数的性质,知单调区间也是对称的
∴单调递减区间是(-1,0),递增区间是(-∞,-1)
综上所述,
f(x)的递增区间是:(-∞,-1)和(0,1)
f(x)的递减区间是:(-1,0)和(0,+∞）
谢谢
(1)
f(-x)=f(x)=-7x/(x^2+x+1)
令t=-x,当t<0时：
f(t)＝7t/(t^2-t+1)
所以x<0时的解析式为：
f(x)=7x/(x^2-x+1)
(2)
x≥0时，
f(x)=-7x/(x^2+x+1)＝-7/(x+1/x+1)
而x+1/x+1≥2√(x·1/x)+1＝3,当且仅当x=1/...
全部展开
(1)
f(-x)=f(x)=-7x/(x^2+x+1)
令t=-x,当t<0时：
f(t)＝7t/(t^2-t+1)
所以x<0时的解析式为：
f(x)=7x/(x^2-x+1)
(2)
x≥0时，
f(x)=-7x/(x^2+x+1)＝-7/(x+1/x+1)
而x+1/x+1≥2√(x·1/x)+1＝3,当且仅当x=1/x时取得最小值
即x=1时，取最小值。
∴f(x)=-7/(x+1/x+1)在x=1时最大，单调区间为：[0,1]递减；(1,+∞)递增。
证明：设0≤x1
＝7x1/(x1^2+x1+1)-7x2/(x2^2+x2+1)
＝7(x1x2-1)(x2-x1)/[(x1^2+x1+1)(x2^2+x2+1)]
上式中，(x2-x1)>0,(x1^2+x1+1)>0,(x2^2+x2+1)>0
故符号仅与(x1x2-1)值的正负符号相同。
a.当x1
即f(x2)-f(x1)<0,
f(x2)
即f(x2)-f(x1)>0,
f(x2)>f(x1),函数单调递增！
证毕！
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