若x>0,y>0,且1/x+y/16=1,求1+x+y的最小值我一直算到了16x/y+y/x≥8这一步,还有一步的样子,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 09:18:52

若x>0,y>0,且1/x+y/16=1,求1+x+y的最小值我一直算到了16x/y+y/x≥8这一步,还有一步的样子,
若x>0,y>0,且1/x+y/16=1,求1+x+y的最小值
我一直算到了16x/y+y/x≥8这一步,还有一步的样子,

若x>0,y>0,且1/x+y/16=1,求1+x+y的最小值我一直算到了16x/y+y/x≥8这一步,还有一步的样子,
条件式应为“1/x+16/y=1”吧?
方法一(基本不等式法):
(x+y)·1
=(x+y)(1/x+16/y)
=17+(16x/y)+(y/x)
≥17+2√[(16x/y)·(y/x)]
=25,
∴x+y=25,
∴x+y+1的最小值为26.
此时,16x/y=y/x且1/x+16/y=1.
即x=5,y=20.
方法二(Cauchy):
1=1/x+16/y
=1²/x+4²/y
≥(1+4)²/(x+y)
∴x+y≥15
→1+x+y≥26.
故所求最小值为26,
此时,1/x+16/y=1且x+y=25,
解得,x=5,y=20.