已知数列an的通项公式是an=3n-1 bn=2的n次方 设an和bn的公共项组成的新数列为Cn ,求Cn通项公式 和 前n项和

已知数列an的通项公式是an=3n-1 bn=2的n次方 设an和bn的公共项组成的新数列为Cn ,求Cn通项公式 和 前n项和
已知数列an的通项公式是an=3n-1 bn=2的n次方 设an和bn的公共项组成的新数列为Cn ,
求Cn通项公式 和 前n项和

已知数列an的通项公式是an=3n-1 bn=2的n次方 设an和bn的公共项组成的新数列为Cn ,求Cn通项公式 和 前n项和
我是先前的月河飞雪,刚刚看错题目的.应该这么解.
设存在正整数n,m；使得 (3n-1)=2^m
可知 n = (2^m+1)/3 是3的倍数
这种整数分析问题用二项式定理来做
2^m+1 = (3+(-1))^m +1 = 3K +(-1)^m+1 是3的倍数 (二项式展开前面的项数都可以提出3,只有最后一项(-1)^m)不行
所以 （-1)^m+1=0; m=2k-1 (k∈N*) (即m为奇数)
此时,ck的通项公式 Ck = 2*(2k-1)
Sk = (2^1+2^3+...+2(2k-1)) = 2*(4^k-1)/3

C1=2是看得出来的，数列an之间的差是三的倍数，那么Cn和C1的差值肯定是3的倍数。设C2=2^m
C2-C1=2(2^(m-1)-1)
所以m=3,即C2-C1=2(4-1)=6
上式其实就是个递推公式对吧，所以Cn=2*4^(n-1)
Sn=2(4^n-1)/3

显然，Cn = (3n-1)*2^n

错位相减
Sn = a1*2^1+a2*2^2+... .... .......+an*2^(n-1) +an*2^2....1#
2Sn= a1*2^2+a2*2^3+...+a(n-1)*2(n-1)+a(n-1)*2^n +an*2^(n+1).....2#
显然 a2-a1 = a3-...

全部展开

显然，Cn = (3n-1)*2^n

错位相减
Sn = a1*2^1+a2*2^2+... .... .......+an*2^(n-1) +an*2^2....1#
2Sn= a1*2^2+a2*2^3+...+a(n-1)*2(n-1)+a(n-1)*2^n +an*2^(n+1).....2#
显然 a2-a1 = a3-a2=..=an-a(n-1)=3

2#-1# 得到 Sn = -a1*2^1+an*2^(n+1) -3(2^2+2^3+...+2n)
= -2*2^1 -3(2^2+2^3+...+2^n)+(3n-1)2^(n+1)
= 2-3(2+2^n+..+2^n)+(3n-1)2^(n+1)
= 2-3(2^(n+1)-2)+(3n-1)2^(n+1)
= (3n-4)*2(n+1)+8....3#

PS:一般来说，求出结果后验证一下保证正确性。
S1=a1b1=2
由3#计算S1 = 4 ，相等

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