作业帮数学数列19已知数列｛an｝满足a1=1,an=3^(n-1)+a(n-1) （n≥2）1）求a2,a32）求an
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 07:31:38
数学数列19已知数列｛an｝满足a1=1,an=3^(n-1)+a(n-1) （n≥2）1）求a2,a32）求an
数学数列19
已知数列｛an｝满足a1=1,an=3^(n-1)+a(n-1) （n≥2）
1）求a2,a3
2）求an
数学数列19已知数列｛an｝满足a1=1,an=3^(n-1)+a(n-1) （n≥2）1）求a2,a32）求an
an=3^(n-1)+a(n-1) (两边同除以3^n)
an/3^n=a(n-1)/3*3^(n-1)+1/3
an/3^n-1/2=(1/3)[a(n-1)/3^(n-1)-1/2]
(an/3^n-1/2)/[a(n-1)/3^(n-1)-1/2]=1/3
所以{an/3^n-1/2}是以a1/3-1/2=-1/6为首相q=1/3为公比的等比数列
an/3^n-1/2=(-1/6)*(1/3)^(n-1)=-(1/3)^n/2=-3^(-n)/2
an=-1/2+3^n/2
a2=-1/2+9/2=4
a3=-1/2+27/2=13
a2=3^(2-1)+a1=3+1=4
a3=3^(3-1)+a2=9+4=13
an=3的n-1次方+an-1
an-a(n-1)=3^(n-1)=d
a2-a1=3^1
a3-a2=3^2
a4-a3=3^3
a5-a4=3^4
......
an+-n-1=3的n-1次方
以上各式相加
a2-a1+a3-...
全部展开
a2=3^(2-1)+a1=3+1=4
a3=3^(3-1)+a2=9+4=13
an=3的n-1次方+an-1
an-a(n-1)=3^(n-1)=d
a2-a1=3^1
a3-a2=3^2
a4-a3=3^3
a5-a4=3^4
......
an+-n-1=3的n-1次方
以上各式相加
a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+...+an-an-1=3+3^2+3^3+3^4+.....+3^(n-1)
左边相互抵消，右边是等比数列
an-a1=3(1-3^(n-1))/(1-3)=3/2*(3^(n-1)-1)
an=1+3/2*(3^(n-1)-1)
=(3的n次方-1）/2
收起
a2=4,a3=13
an=(an-a(n-1))+（a(n-1)-a(n-2)）+……+(a2-a1)+a1
=3^(n-1)+3^(n-2)+……+3+1
=（3^n -1）/2