已知三角形ABC的三个顶点为A(0.0)B(1.1)C(4.2) （1)求三角形外接圆的方程(2)求AB边上的高所在的直线被外接圆截得的弦长

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 01:11:16

已知三角形ABC的三个顶点为A(0.0)B(1.1)C(4.2) （1)求三角形外接圆的方程(2)求AB边上的高所在的直线被外接圆截得的弦长
已知三角形ABC的三个顶点为A(0.0)B(1.1)C(4.2) （1)求三角形外接圆的方程
(2)求AB边上的高所在的直线被外接圆截得的弦长

已知三角形ABC的三个顶点为A(0.0)B(1.1)C(4.2) （1)求三角形外接圆的方程(2)求AB边上的高所在的直线被外接圆截得的弦长
设三角形外接圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²则
a²+b²=r²
(1-a)²+(1-b)²=r² a²-2a+1+b²-2b+1=r² a²+b²-2a-2b=r²-2
(4-a)²+(2-b)²=r² a²-8a+16+b²-4b+4=r² a²+b²-8a-4b=r²-20
2a+2b=2 a+b=1
8a+4b=20 2a+b=5
a=4
b=-3
r=5
方程为(x-4)²+(y+3)²=5²

全部展开

直线AC的方程为y=1/2*x，其垂直平分线经过点A、C的中点(2,1)
垂直平分线的方程是y-1=-2*(x-2)，外接圆的圆心在垂直平分线上
设圆心坐标（a，-2a+5)
a^2+(-2a+5)^2=(a-1)^2+(-2a+5-1)^2
得a=4
所以圆心坐标（4，-3）
半径r=根号（4^2+3^2)=5
圆的方程为(x-4)²+(y+3)²=5²

直线AB的方程为y=x，高经过C（4,2）
高所在直线方程y-2=-(x-4)，即y+x+6=0
圆心到高所在直线的距离=|7|/根号2=7/根号2
弦长的一半=根号[r^2-(7/根号2)^2]=根号2/2
所以弦长为根号2

收起

设x²+y²+dx+ey+f=0
∴f=0 d+e+f=-2 4d+2e+f=-20
解得：d=-8 e=6 f=0
∴圆的方程是：x²+y²-8x+6y=0
即：(x-4)²+(y+3)²=25
与AB垂直的最大的弦长就是直径，它的长度是10