作业帮设f(x)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0求证：（1）a>0且-2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 12:55:13
设f(x)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0求证：（1）a>0且-2
设f(x)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0
求证：（1）a>0且-2
设f(x)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0求证：（1）a>0且-2
（1）f(0)=c>0
f(1)=3a+2b+c>0
因为 a+b+c=0;
所以 c=-a-b
所以 2a+b>0 (1);
又因为 -a-b>0 （2);
由（1）（2）得：a>0
所以由（1）得 ：（b/a)>-2;
所以由（2）得：（b/a)
证明：
（1）
因为：f(0)>0，所以：c>0，a+b<0；
因为：f(1)>0，所以：3a+2b+c>0，而且：a+b+c=0，所以：2a+b>0；
由a+b<0可得：-a-b>0；结合2a+b>0可得：2a-a+b-b>0，即：a>0
由a+b<0可得：b<-a，(b/a)<-1；由2a+b>0可得：b>(-2a)，(b/a)>(-2)；
所以...
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证明：
（1）
因为：f(0)>0，所以：c>0，a+b<0；
因为：f(1)>0，所以：3a+2b+c>0，而且：a+b+c=0，所以：2a+b>0；
由a+b<0可得：-a-b>0；结合2a+b>0可得：2a-a+b-b>0，即：a>0
由a+b<0可得：b<-a，(b/a)<-1；由2a+b>0可得：b>(-2a)，(b/a)>(-2)；
所以：-2<(b/a)<-1
（2）
f(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 0，
因为：c = -a-b，所以：
√(4b^2 - 12ac)
= √(4b^2 + 12a^2 + 12ab)
= 2√(b^2 + 3a^2 + 3ab)
= 2√[(b+3a/2)^2 + 3(a^2)/4]
那么：
[-2b + √(4b^2 - 12ac)]/6a
= -b/3a + √[(b/6a+1/4)^2 + 1/48]
而且：
[-2b - √(4b^2 - 12ac)]/6a
= -b/3a - √[(b/6a+1/4)^2 + 1/48]
已证：-2<(b/a)<-1
所以：2/3>(-b/3a)>1/3 ---[1]
而且：-1/12<(b/6a+1/4)<1/12
那么：1/48<[(b/6a+1/4)^2 + 1/48]<4/144
所以：1/7<√[(b/6a+1/4)^2 + 1/48]<1/6 ---[2]
由[1]和[2]得：
(10/21)<{-b/3a + √[(b/6a+1/4)^2 + 1/48]}<(5/6)
(1/6)<{-b/3a - √[(b/6a+1/4)^2 + 1/48]}<(11/21)
所以：方程f(x)=0在（0,1）内有两个实根 x1,x2：
(10/21)< x1 <(5/6)
(1/6)< x2< (11/21)
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