作业帮定义在r上的奇函数y=f(X)满足f(3)=0,且不等式f(x)>-x*f'(x)在（0,+∞）上恒成立,则函数g(x)=x*f(x)+lg|x+1|的零点个数为答案上有3个。。。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 03:50:47
定义在r上的奇函数y=f(X)满足f(3)=0,且不等式f(x)>-x*f'(x)在（0,+∞）上恒成立,则函数g(x)=x*f(x)+lg|x+1|的零点个数为答案上有3个。。。
定义在r上的奇函数y=f(X)满足f(3)=0,且不等式f(x)>-x*f'(x)在（0,+∞）上恒成立,则函数g(x)=x*f(x)+lg|x+1|的零点个数为
答案上有3个。。。
定义在r上的奇函数y=f(X)满足f(3)=0,且不等式f(x)>-x*f'(x)在（0,+∞）上恒成立,则函数g(x)=x*f(x)+lg|x+1|的零点个数为答案上有3个。。。
答：
定义在R的奇函数f(x)满足：
f(0)=0=f(3)=f(-3)
f(-x)=-f(x)
x>0时：f(x)>-xf'(x)
f(x)+xf'(x)>0
所以：[xf(x)]'>0
所以：h(x)=xf(x)在x>0时是增函数
h(-x)=-xf(-x)=xf(x)是偶函数
所以：x
设F(x)=xf(x) 则F(x)为偶函数。 则F'(x)=f(x)+xf'(x) 由题意知f(x)+xf'(x)>0在（0，+∞）上恒成立，即F'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，即F(x)在(0,+∞)上单调增，因此根据奇偶性，F(x)在（－∞，0）单调减。且F（0）＝0，F(-3)=F(3)=0 所以,根据单调性和奇偶性知F(x)在（0，3）上F(x)<0,在(3,+∞)上F(x)>0,在(-3,0)上F(x)<0，在(-∞,-3)上F(x)>0. F(x)=xf(x),x>0, ........0, x=0 ........ xf(x),x<0 (分段函数，分成三段) 令g(x)=0，得x*f(x)=-lg|x+1|, 令k(x)=-lg|x+1|,知在（－∞，－1）单调增，在（－1，+∞）上单调减。所以在在（－3，0）中F（x）与k(x)有一个交点，在（0，3）内有一个交点，在原点处相交。 因此零点的个数为3个。 结合数形结合来解决。