空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC,CD上的点,且CF\CB=CG\CD=2\3,求EF GH AC交一点

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 15:44:20

空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC,CD上的点,且CF\CB=CG\CD=2\3,求EF GH AC交一点
空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC,CD上的点,且CF\CB=CG\CD=2\3,求EF GH AC交一
点

空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC,CD上的点,且CF\CB=CG\CD=2\3,求EF GH AC交一点
求证EF GH AC交于一点.
G,H,A,C∈平面ACD,GH,AC不平行.设交于P
从梅列劳斯定理:CG/GD·DH/HA·AP/PC＝1  CP＝2AP.即AP＝CA.
完全一样的推理,FE与CA交于Q,有AQ＝CA ,AP＝AQ .P,Q重合.
EF GH AC交于一点.

做辅助线：连接BD
由条件可知：EH//BD FG//BD
则EH//FG
所以，EF，HG是在同一平面内
而，在△ABC中，E是AB的中点，但F不是BC的中点，所以，EF肯定不平行于AC
则EF肯定与AC相交于一点
同理，AC肯定与HG相交于一点
而EF，HG又在同一平面内，也就是说，AC与EF，HG所确定的平面相交于一点
一直线...

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做辅助线：连接BD
由条件可知：EH//BD FG//BD
则EH//FG
所以，EF，HG是在同一平面内
而，在△ABC中，E是AB的中点，但F不是BC的中点，所以，EF肯定不平行于AC
则EF肯定与AC相交于一点
同理，AC肯定与HG相交于一点
而EF，HG又在同一平面内，也就是说，AC与EF，HG所确定的平面相交于一点
一直线与一平面相交，有且只有一个交点
所以，EF，HG，AC交于一点

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