已知5cos²α+4cos²β=4cosα则cos²α+cos²β范围

已知5cos²α+4cos²β=4cosα则cos²α+cos²β范围
已知5cos²α+4cos²β=4cosα则cos²α+cos²β范围

已知5cos²α+4cos²β=4cosα则cos²α+cos²β范围
5cos^2a+4cos^2β=4cosα
令cosα = t
5t^2+4cos^2β=4t
4cos^2β=4t-5t^2
4cos^2β≥0
4t-5t^2≥0
5t^2-4t≤0
t(5t-4)≤0
0≤t≤4/5
5cos^2a+4cos^2β=4cosα
4cos^2a+4cos^2β=4cosα-cos^2α=4-4+4cosα-cos^2α=4-(2-cosα)^2=4-(2-t)^2
0≤t≤4/5
0≥ -t ≥ -4/5
2 ≥ 2-t ≥ 6/5
4 ≥ (2-t)^2 ≥ 36/25
-4≤-(2-t)^2≤-36/25
0≤4-(2-t)^2≤64/25
即0≤4cos^2a+4cos^2β≤64/25
0≤cos^2a+cos^2β≤16/25

记x=cosα，则(cosβ)^2=-5/4x^2+x≥0，解得0≤x≤4/5（而不是0≤x≤1，此步非常关键，大部分同学都会在此处疏漏，导致答案错误）
(cosα)^2+(cosβ)^2=-1/4x^2+x=-1/4(x-2)^2+1，由单调性可知，x=4/5时，取最大值；x=0时取最小值，即(cosα)^2+(cosβ)^2的取值范围是[0,16/25]...

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记x=cosα，则(cosβ)^2=-5/4x^2+x≥0，解得0≤x≤4/5（而不是0≤x≤1，此步非常关键，大部分同学都会在此处疏漏，导致答案错误）
(cosα)^2+(cosβ)^2=-1/4x^2+x=-1/4(x-2)^2+1，由单调性可知，x=4/5时，取最大值；x=0时取最小值，即(cosα)^2+(cosβ)^2的取值范围是[0,16/25]

收起

由已知得 (cosβ)^2=[4cosα-5(cosα)^2]/4 ，
因此，由 (cosβ)^2>=0 得 4cosα-5(cosα)^2>=0 ，
解得 0<=cosα<=4/5 ，
所以， (cosα)^2+(cosβ)^2=(cosα)^2+[4cosα-5(cosα)^2]/4
=-1/4*(cosα)^2+cosα
=-1/4*(cosα-2)^...

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由已知得 (cosβ)^2=[4cosα-5(cosα)^2]/4 ，
因此，由 (cosβ)^2>=0 得 4cosα-5(cosα)^2>=0 ，
解得 0<=cosα<=4/5 ，
所以， (cosα)^2+(cosβ)^2=(cosα)^2+[4cosα-5(cosα)^2]/4
=-1/4*(cosα)^2+cosα
=-1/4*(cosα-2)^2+1 ，
由 0<=cosα<=4/5 及二次函数的性质得，
当 cosα=0 时，(cosα)^2+(cosβ)^2 取最小值为 0 ，
当 cosα=4/5 时，(cosα)^2+(cosβ)^2 取最大值为 16/25 ，
所以，所求的范围是 [0，16/25] 。

收起

5cosa^2+4cosb^2=4cosa
4cosb^2=4cosa-5cosa^2
4cosb^2+4cosa^2=4cosa-cosa^2
4(cosa^2+cosb^2)=4-(2-cosa)^2
-1<=cosa<=1
cosa^2,cosb^2>=0
0<=4(cosa^2+cosb^2)<=3
0<=cosa^2+cosb^2<=3/4

5cos²α+4cos²β=4cosα
4(cos²α+cos²β)=4cosα-cos²α
4(cos²α+cos²β)=-(cosα-2)²+4
cos²α+cos²β=-1/4(cosα-2)²+1
因为-1-5/4