如图 四棱锥P-ABCD中 底面ABCD为矩形 PA⊥底面ABCD PA=AB 点E是棱PB的中点 求AE⊥PC

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 12:55:07

如图 四棱锥P-ABCD中 底面ABCD为矩形 PA⊥底面ABCD PA=AB 点E是棱PB的中点 求AE⊥PC
如图 四棱锥P-ABCD中 底面ABCD为矩形 PA⊥底面ABCD PA=AB 点E是棱PB的中点 求AE⊥PC

如图 四棱锥P-ABCD中 底面ABCD为矩形 PA⊥底面ABCD PA=AB 点E是棱PB的中点 求AE⊥PC
三角形PAB为等腰直角三角形,AE为其中线,同时也是其高,即AE垂直于PB.
又,BC垂直于AB(矩形),BC垂直于PA,(直线垂直于平面,就垂直于这平面上的任何直线),
知BC垂直于平面PAB.(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这个平面)
故BC垂直于直线AE (垂直于平面,就垂直于其上的任何直线)
由上已知:AE垂直于PB.
故知AE垂直于BC,PB所定平面.PBC.
故AE垂直于其上的直线PC.

∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA。
∵ABCD是矩形，∴BC⊥AB。
由BC⊥PA、BC⊥AB、PA∩AB＝A，得：BC⊥平面PAB，而AE在平面PAB上，∴AE⊥BC。
∵PA＝AB、PE＝BE，∴AE⊥PB。
由AE⊥BC、AE⊥PB、BC∩PB＝B，得：AE⊥平面PBC。
∴AE⊥PC

∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA。
∵ABCD是矩形，∴BC⊥AB。
所以 BC⊥平面PAB，因为 AE在平面PAB上，∴AE⊥BC。
∵PA＝AB、PE＝BE，E是PB的中点 ∴AE⊥PB。
因为AE⊥BC，BC∩PB＝B，所以 AE⊥平面PBC。 因为PC在平面PBC上 ∴AE⊥PC

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