已知三次函数f(x)=1/3 x^3 - (4m-1)x^2+(15m^2-2m-7)x +2 在R上市增函数,则m的取值范围?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 16:08:26

已知三次函数f(x)=1/3 x^3 - (4m-1)x^2+(15m^2-2m-7)x +2 在R上市增函数,则m的取值范围?
已知三次函数f(x)=1/3 x^3 - (4m-1)x^2+(15m^2-2m-7)x +2 在R上市增函数,则m的取值范围?

已知三次函数f(x)=1/3 x^3 - (4m-1)x^2+(15m^2-2m-7)x +2 在R上市增函数,则m的取值范围?
f(x)的导数f'(x)=x^2+2(4m-1)x+(15m^2-2m-7)=(x+4m-1)^2+(15m^2-2m-7)-(4m-1)^2
因为f(x）在R上是增函数,则其导数大于零
f'(x)=)=(x+4m-1)^2+(15m^2-2m-7)-(4m-1)^2>0
即(15m^2-2m-7)-(4m-1)^2>0
(15m^2-2m-7)-(4m-1)^2=15m^2-2m-7-16m^2+8m-1=-m^2+6m-8=-(m-2)(m-4)>0
则(m-2)(m-4)

f'(x)=x^2-2(4m-1)x+15m^2-2m-7>=0在R上恒成立。
则判别式=4(4m-1)^2-4(15m^2-2m-7)<=0。
整理得：m^-6m+8<=0，即(m-2)(m-4)<=0。
所以，m的取值范围是[2,4]。

f'(x)=x²-2(4m-1)x+15m²-2m-7
在R上是增函数则x²-2(4m-1)x+15m²-2m-7恒大于0
所以判别式小于0
4(4m-1)²-4(15m²-2m-7)<0
m²-6m+8<0
2

f(x)在R上为增函数表明其导数恒大于0，即f'(x)=x^2-(8m-2)x+15m^2-2m-7>0恒成立；
即其最小值恒大于0,该式的最小值在x=4m-1时取到，
即f'(x)min=(4m-1)^2-(8m-2)(4m-1)+15m^2-2m-7>0
15m^2-2m-7-16m^2+8m-1>0
m^2-6m+8<0
2

f(x)=1/3 x^3 - (4m-1)x^2+(15m^2-2m-7)x +2
f'(x)= x^2 - 2(4m-1)x+(15m^2-2m-7)=[x-(4m-1)]^2-(4m-1)^2+(15m^2-2m-7)
=[x-(4m-1)]^2-m^2+6m-8
-m^2+6m-8≥0
m^2-6m+8≤0
(m-2)(m-4)≤0
2≤m≤4

可知在R上f'(x)>0,f'(x)=x^2-8mx+2x+15m^2-2m-7>0,即b^2-4ac>0且f'(x)min>0,所以（8m-2）^2-4*1*(15m^2-2m-7)>0 m^2+14m+11<0,剩下的自己算

导数=x^2-(8m-2)x+15m^2-2m-7
导数>0
即m^2-6m+8<0
2