作业帮已知数列｛an｝的前n项和为Sn,满足Sn＝2an＋n＾2－4n（n＝1,2,3…）（1） 写出数列｛an｝的前3项a1,a2,a3（2） 求证,数列｛an－2n＋1｝为等比数列（3） 求Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 06:47:17
已知数列｛an｝的前n项和为Sn,满足Sn＝2an＋n＾2－4n（n＝1,2,3…）（1） 写出数列｛an｝的前3项a1,a2,a3（2） 求证,数列｛an－2n＋1｝为等比数列（3） 求Sn
已知数列｛an｝的前n项和为Sn,满足Sn＝2an＋n＾2－4n（n＝1,2,3…）
（1） 写出数列｛an｝的前3项a1,a2,a3
（2） 求证,数列｛an－2n＋1｝为等比数列
（3） 求Sn
已知数列｛an｝的前n项和为Sn,满足Sn＝2an＋n＾2－4n（n＝1,2,3…）（1） 写出数列｛an｝的前3项a1,a2,a3（2） 求证,数列｛an－2n＋1｝为等比数列（3） 求Sn
用（n-1）代入n得出S（n-1)两式相减：an=Sn-S（n-1)=.化简即可,时间紧没算,但思路是这样
(1)a1=2a1+1-4 a1=3
a2+a1=2a2+4-8 a2=7
a3+a2+a1=2a3+9-12 a3=13
(2)
当n>1(n∈N+)时，
Sn＝2an＋n^2－4n ①
S(n-1)＝2a(n-1)＋(n-1)^2－4（n-1)②
①-②，得
an=2an-2a(n-1)+2n-5<...
全部展开
(1)a1=2a1+1-4 a1=3
a2+a1=2a2+4-8 a2=7
a3+a2+a1=2a3+9-12 a3=13
(2)
当n>1(n∈N+)时，
Sn＝2an＋n^2－4n ①
S(n-1)＝2a(n-1)＋(n-1)^2－4（n-1)②
①-②，得
an=2an-2a(n-1)+2n-5
移项，得an=2a(n-1)-2n+5
配凑：an-2n+1=2a(n-1)-4n+6
an-2n+1=2a(n-1)-4(n-1)+2
an-2n+1=2(a(n-1)-2(n-1)+1)
a2-2*2+1=4
a1-2*1+1=2
所以，数列｛an-2n+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列
(3)an-2n+1=2^n
所以an=2^n+2n-1
Sn=a1+a2+a3+...+an
=2^1+2*1-1+2^2+2*2-1+2^3+2*3-1+...+2^n+2*n-1
=2(1-2^n)/(1-2)+(2+2n)n/2-n
=2^(n+1)+n^2-2
收起