作业帮如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 02:42:51
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由.
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由.
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由.
解（1）证：∵D是BC的中点.△ABC是等腰直角三角形
∴∠PBD=∠QAD AD=BD
又BP=AQ
∴△PDB≌△QAD（SAS)
∴ ∠PDB=∠ADQ QD=PD
又∠ADB=90°
∴∠PDQ=90°
∴△PDQ是等腰直角三角形
（2）当点P运动到AB中点时,四边形APDQ是正方形
△ABD等腰直角三角形 P中点
∴△ADP等腰直角三角形
同理△AQD等腰直角三角形
∴四边形APDQ是正方形
1.证明△AQD全等△BPD(边角边)
2.AB中点，APDQ对角线垂直平分且相等
（1）因为△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中点
所以AD=BD,，∠B=∠DAQ=45°
又因为BP=AQ
所以△BPD和△AQD全等
所以PD=QD，∠PDQ=∠ADB=90°
所以，△PDQ是等腰直角三角形
（2）结论：运动到AB的中点
证明：因为△ADB是等腰直角三角形且P为AB中点
所以AP=PD且∠APD=90°
全部展开
（1）因为△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中点
所以AD=BD,，∠B=∠DAQ=45°
又因为BP=AQ
所以△BPD和△AQD全等
所以PD=QD，∠PDQ=∠ADB=90°
所以，△PDQ是等腰直角三角形
（2）结论：运动到AB的中点
证明：因为△ADB是等腰直角三角形且P为AB中点
所以AP=PD且∠APD=90°
所以四边形APDQ是正方形
收起
（1）证三角形BPD和三角形AQD全等（SAS）
AQ=BP,角B=角CAD=45°，BD=AD
全等后有：DP=DQ,角PDB=角QDA
来个角的代换，所以PDB+QDC=QDA+QDC=ADC=90°（表示角）
所以PDQ=90°
（2）正方形则要求QA‖PD则只能让PD为中位线，即P要运动到AB中点