圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且∠DAB=∠C,连结DB并延长交圆O1于点E（1）求证：DA是圆O1的切线（2）求证：AC平方：AD平方=BC：BD（3

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 09:30:12

圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且∠DAB=∠C,连结DB并延长交圆O1于点E（1）求证：DA是圆O1的切线（2）求证：AC平方：AD平方=BC：BD（3
圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且
∠DAB=∠C,连结DB并延长交圆O1于点E
（1）求证：DA是圆O1的切线
（2）求证：AC平方：AD平方=BC：BD
（3）若BF=4,CA=3根号5,求DE的长

圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且∠DAB=∠C,连结DB并延长交圆O1于点E（1）求证：DA是圆O1的切线（2）求证：AC平方：AD平方=BC：BD（3
分析：（1）本题可过A作圆O的直径,然后证这条直径与AD垂直即可．可根据圆周角定理和已知的∠DAB=∠C来求解．
（2）本题的关键是证CF=DE,如图,如果证CF=DE,就必须证明O′Q=OP,就要证出∠OO′Q=∠O′OP,可通过证∠O′JR=∠OKR,即∠ABF=∠ABE来求解,证出CF=DE后,可根据切割线定理得出本题要求的结论．
（3）根据切割线定理和CA,FB的长,即可求出BC的长,也就能得出CF的长,（2）中已证得CF=DE,那么即可求出DE的长．
证明：（1）过A作⊙O的直径AG连接BG,则∠G=∠C,∠ABG=90°,
∵∠BAD=∠C,
∴∠BAD=∠G．
∵∠G+∠BAG=90°,
∴∠DAB+∠BAG=90°．
即∠DAG=90°．
∴AG⊥AD．
∴DA是圆O的切线．
（2）如图：过O′作O′M⊥FC于M,作O′H⊥DE于H,
过O作ON⊥FC于N,过O作OL⊥DE于L；过O作OP⊥O′H于P,过O′作O′Q⊥ON于Q；
连接AB,OO′,则OO′⊥AB,OO′∥FC,OP∥DE,
∴∠ABF=∠O′JR,∠ABE=∠RKO．
∵∠ABF=∠BAC+∠C,∠ABE=∠D+∠DAB,
∵∠DAB=∠C,∠BAC=∠D,
∴∠ABF=∠ABE．
∴∠O′JR=∠OKR．
∴∠OO′Q=∠O′OP=90°-∠O′JR=90°-∠OKR．
∴OP=O′Q=OO′•cos∠OOP=OO•cos∠OOQ．
根据垂径定理易知：O′Q= 1/2CF,OP= 1/2DE,
∴CF=DE．
∵DA,AC分别是⊙O和⊙O′的切线,
∴CA²=CB•CF,DA²=DB•DE．
∴CA²：DA²=（CB：DB）•（CF：DE）=CB：DB．
（3）根据切割线定理可得：
∵CA²=CB•CF=CB•（CB+BF）=CB²+CB•BF,
∴45=CB²+4CB．
∴BC=4．
∴CF=BC+BF=9．
∴DE=CF=9．