作业帮a,b,c>=0 a^2+b^2+c^2=1 证：a/(1+bc) + b/(1+ac) +c/(1+ab)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 16:09:35
a,b,c>=0 a^2+b^2+c^2=1 证：a/(1+bc) + b/(1+ac) +c/(1+ab)
a,b,c>=0 a^2+b^2+c^2=1 证：a/(1+bc) + b/(1+ac) +c/(1+ab)
a,b,c>=0 a^2+b^2+c^2=1 证：a/(1+bc) + b/(1+ac) +c/(1+ab)
2=2*（a^2+b^2+c^2）>=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2所以,a+b+c<=根号2
因为a,b,c>0
所以
a/(1+bc) + b/(1+ac) +c/(1+ab)
<(a+abc)/(1+bc) + (b+abc)/(1+ac) +(c+abc)/(1+ab)
=a+b+c
<=根号2
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错了 等我再想下
由于对称性，不妨设a<=b<=c
a/(1+bc) + b/(1+ac) +c/(1+ab)<=a/(1+ab) + b/(1+ab) +c/(1+ab)=(a+b+c)/(1+ab)
只要证（a+b+c)/(1+ab)<=根号2
即a+b+c-根号2ab<=根号2
a+b+根号(1-a^2-b^2)-根号2ab<=根号2
1-a^2-b^2<=(根号2...
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由于对称性，不妨设a<=b<=c
a/(1+bc) + b/(1+ac) +c/(1+ab)<=a/(1+ab) + b/(1+ab) +c/(1+ab)=(a+b+c)/(1+ab)
只要证（a+b+c)/(1+ab)<=根号2
即a+b+c-根号2ab<=根号2
a+b+根号(1-a^2-b^2)-根号2ab<=根号2
1-a^2-b^2<=(根号2+根号2ab-a-b)^2
2(a+b)^2-2根号2(x+y)+2x^2y^2+2xy-2根号2(x+y)+1>=0
(根号2x+根号2y-xy-1)^2+x^2y^2>=0恒成立
当且仅当x=0 y=根号2/2 z=根号2/2时 等号成立
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