在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB‖CD,AB=1/2 DC,DC=根号3 BC,E为PD中点. （1）求证：AE∥平面PBC；（2）求证：AE⊥平面PDC；（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．重点回答第3

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 21:06:48

在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB‖CD,AB=1/2 DC,DC=根号3 BC,E为PD中点. （1）求证：AE∥平面PBC；（2）求证：AE⊥平面PDC；（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．重点回答第3
在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB‖CD,AB=1/2 DC,DC=根号3 BC,E为PD中点.

（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求证：AE⊥平面PDC；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．
重点回答第3小题,

在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB‖CD,AB=1/2 DC,DC=根号3 BC,E为PD中点. （1）求证：AE∥平面PBC；（2）求证：AE⊥平面PDC；（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．重点回答第3

此图为第三问所用
1.取PC中点H连接BH,EH
E为PD中点
EH‖CD,EH=1/2CD=AB
四边形ABHE是平行四边行
AE∥平面PBC
2因为AB⊥平面PBC
所以AB⊥BH
所以平行四边形ABHE是矩形
AE⊥EH
PBC为正三角形,所以BH⊥PC
所以AE⊥PC
所以AE⊥平面PDC
3.建立以B为原点如图所示空间直角坐标系,设AB=1
A(0,0,1) C(0,2√3/3,0) D(0,2√3/3,2)
P(1, √3/3,0)
向量BP=(1, √3/3,0),向量BC=(0,2√3/3,0)
向量AD=(0,2√3/3,1) 向量AP=(1, √3/3,-1)
设向量α,β分别是平面PBC与平面PAD的法向量
有向量α·BP=0 向量β· AD=0
向量α·BC=0 向量β·AP=0
不妨设α=（0,0,1）
β=（-√3,1,-2√3/3）
cos<α,β>=-1/2
<α,β>=120度
平面PAD与平面PBC所成锐二面角=60度

全部展开

在△DPC中，设PC的中点为F，连结EF，则EF//DC，且EF=(1/2)*DC。所以AB//DC//EF,AB=EF，于是ABFE是平行四边形。所以AE//BF，所以AE//底面PBC。
底面PBC是正三角形，所以中线BF垂直于PC，又有已知条件AB⊥平面PBC,所以DC垂直于底面上的直线BF。这样BF就垂直于两条相交直线PC，DC。于是BF垂直于右侧面PDC。
设DC的中点为G。连结EG，AG。则三角形AEG的平面//三角形BPC的平面。所以，我们就相当于把底面向上平移到了三角形AEG所在的平面。于是，所需要求的二面角的平面角，就是角DEG。
理由是：由三垂线定理，DE垂直于AE，EG垂直于AE 。题目有具体数据，自己可以计算啦。

收起

全部展开

(1)取DC的中点G。连接AG，
∵E是DP的中点，∴EG//PC，
∵AB//DC且AB=1/2DC，
∴ABCG是平行四边形，∴AG//BC，
∵EG∩AG=G，∴平面AEG//平面BPC，∴AE//平面BPC。
(2)∵AB⊥平面BPC，DC//AB,
∴DC⊥平面BPC，
∵DC在平面PDC内，∴平面PDC⊥平面BPC，
∵AE//平面BPC，∴AE⊥平面PDC。
(3)∵AB、DC都垂直于平面PBC，
∴△APD在平面PBC上的射影就是△BPC，
设正△BPC的边长为a，则DC=√3a，AB=√3a/2，
∴PD=√(PC²+DC²)=2a，AP=√(AB²+BP²)=√7a/2，
∵AE⊥平面PDC，∴AE⊥PD，AE=√(AP²-PE²)=√3a/2，
S△BPC=(1/2)×a×a×sin60°=√3a²/4，S△APD=(1/2)×2a×(√3a/2)=√3a²/2，
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，
cosθ=S△BPC/S△APD=(√3a²/4)/(√3a²/2)=1/2，
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角θ=60°。

收起