求(x^(1+x))/((1+x)^x) - x/e 在x 正无穷大的极限,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 19:00:46

求(x^(1+x))/((1+x)^x) - x/e 在x 正无穷大的极限,
求(x^(1+x))/((1+x)^x) - x/e 在x 正无穷大的极限,

求(x^(1+x))/((1+x)^x) - x/e 在x 正无穷大的极限,
x^(1+x)/(1+x)^x= x^x/(1+x)^x * x = x/(1+1/x)^x
原式 = x [1/ (1+1/x)^x - 1/e ]
= x[e-(1+1/x)^x]/[e(1+1/x)^x]
=x[e-(1+1/x)^x]/e^2
=1/e^2 * [e-(1+t)^(1/t)] / t
=1/e^2 * [e - (e - (et)/2 + (11et^2)/24 - o(t^3)) ] / t
=1/e^2 * e/2
=1/2e
这里用到了 (1 + x)^(1/x)的展开式 (1 + x)^(1/x) = e - (e x)/2 + (11e x^2)/24 - .

整理成[(1 1/x)^x-1/e]/(1/x),令t=1/x;得
[(1 t)^(1/t)-1/e]/t,t
趋于0
,再用洛必达可得
结果为e