微分方程y'+2xy=4x的通解是?要详解哈 不要套公式的

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 02:52:18

微分方程y'+2xy=4x的通解是?要详解哈 不要套公式的
微分方程y'+2xy=4x的通解是?
要详解哈 不要套公式的

微分方程y'+2xy=4x的通解是?要详解哈 不要套公式的
y'+2xy=4x的齐次方程为：
y'+2xy=0
dy/dx=-2xy
1/ydy=-2xdx
y=exp(-x^2)
原方程的解的形式为：
y=exp(-x^2)h(x)
代入：
[exp(-x^2)h(x)]'+2xexp(-x^2)h(x)=4x
-2xexp(-x^2)h(x)+exp(-x^2)h'(x)+2xexp(-x^2)h(x)=4x
exp(-x^2)h'(x)=4x
h'(x)=4xexp(x^2)
h(x)=∫4xexp(x^2)dx=2∫exp(x^2)dx^2=2exp(x^2)+C
所以,原方程通解为：
y=[2exp(x^2)+C]exp(-x^2)
=2+Cexp(-x^2)

y'=x(4-2y)
dy/(4-2y)=xdx
两边同时积分，得-(ln｜4-2y｜)/2=x^2/2
ln｜4-2y｜=-x^2+C1
4-2y=e^(-x^2+C1)
所以通解是y=Ce^(-x^2)+2

该方程属于一阶微分方程的一阶线性方程，他有求解公式。
依照公式，求解如下：
y=e-∫2xdx*(c+∫4x*e ∫2xdx dx)
=e^(-x^2)*(c+4∫x*e^2x dx)
=e^(-x^2)*(c+2∫*e^2x dx^2)
=e^(-x^2)*(c+2e^2x )
=c*e^(-x^2)+2

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