作业帮已知圆C与圆X^2+Y^2-2X=0相外切,并且与直线X+√3Y=0相切于点Q（3,-√3）,求圆C的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 08:41:50
已知圆C与圆X^2+Y^2-2X=0相外切,并且与直线X+√3Y=0相切于点Q（3,-√3）,求圆C的方程
已知圆C与圆X^2+Y^2-2X=0相外切,并且与直线X+√3Y=0相切于点Q（3,-√3）,求圆C的方程
已知圆C与圆X^2+Y^2-2X=0相外切,并且与直线X+√3Y=0相切于点Q（3,-√3）,求圆C的方程
设圆心为C(a,b),半径为r;
则：(a-1)²+b²=(r+1)²; |a+√3b|/2=r; (a-3)²+(b+√3)²=r²
联立解三个方程比较麻烦；
所以要分析几何条件,画图看：O(0,0),A(1,0),M(3,-√3)
设圆心为C点,直线OM即x+√3y=0,亦即y=(-√3/3)x,
由于圆C与直线OM相切于M点,所以圆心C位于过M点且垂直于OM的直线y+√3=√3（x-3)
即y=√3x-4√3上; 所以设C（a,√3a-4√3)
连接AM,AC ,CM ; 三角形OAM中,∠AOM=30°,OA=1,OM =√3²+3=2√3;
有余弦定理得：AM=√[1²+(2√3)²-2×1×2√3cos30°]=√7
cos∠AMO=[12+7-1]/(2×2√3×√7)=3√21/14; sin∠AMO=√7/14
由于OM⊥CM,所以∠AMC=90°-∠AMO;则cos∠AMC=sin∠AMO=√7/14;
所以三角形AMC中：AC=r+1,CM=r,AM=√7;
有余弦定理得：(r+1)²=7+r²-2×√7r×(√7/14)
得：r=2;即MC=2; 可以化为：(a-3)²+(√3a-3√3)²=4
即：a²-6a+8=0;a=2,或a=4
所以圆C的方程为：(x-2)²+(y+2√3)²=4;或(x-4)²+y²=4
圆C与直线X+√3Y=0相切于点Q（3，-√3），则圆C的圆心必在与直线X+√3Y=0垂直且经过点Q（3，-√3）的直线上，解得直线为y=√3x-4√3。
圆X^2+Y^2-2X=0的圆心O1为（1，0），半径为1；圆C的圆心为O2（x，√3x-4√3），半径即O2Q的距离。
因为圆C与圆X^2+Y^2-2X=0相外切，所以O1O2=1+O2Q
即√[(x-1)^2+(√3...
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圆C与直线X+√3Y=0相切于点Q（3，-√3），则圆C的圆心必在与直线X+√3Y=0垂直且经过点Q（3，-√3）的直线上，解得直线为y=√3x-4√3。
圆X^2+Y^2-2X=0的圆心O1为（1，0），半径为1；圆C的圆心为O2（x，√3x-4√3），半径即O2Q的距离。
因为圆C与圆X^2+Y^2-2X=0相外切，所以O1O2=1+O2Q
即√[(x-1)^2+(√3x-4√3-0)^2]=1+√[(x-3)^2+(√3x-4√3+√3)^2]
化简，得√[(x-1)^2+3(x-4)^2]=1+√[4(x-3)^2]
√[(x-1)^2+3(x-4)^2]=1+2│x-3│
当x≥3时，√[(x-1)^2+3(x-4)^2]=1+2(x-3)，解得x=4，圆心为（4，0），半径为2
当x<3时，√[(x-1)^2+3(x-4)^2]=1+2(3-x)，解得x=0，圆心为（0，-4√3），半径为6
所以圆C的方程为（x-4)^2+y^2=4或x^2+(y+4√3)^2=36
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