不等式y=1/sin（x^2）+2/(cos（x^2）)最小值

不等式y=1/sin（x^2）+2/(cos（x^2）)最小值
不等式y=1/sin（x^2）+2/(cos（x^2）)最小值

不等式y=1/sin（x^2）+2/(cos（x^2）)最小值
y=(sin²x+cos²x)/sin²x+2((sin²x+cos²x)/cos²x
=sin²x/sin²x+cos²x/sin²x+2sin²x/cos²x+2cos²x/cos²x
=3+cos²x/sin²x+2sin²x/cos²x≥3+2√(cos²x/sin²x*2sin²x/cos²x)=3+2根号2
最小值=3+2根号2

y=1/(sinx)^2+2/(cosx)^2
=2(tanx)^2+(cotx)^2+3
=2(tanx)^2+1/(tanx)^2+3
≥3+2√[(2tanx)^2*(1/(tanx)^2) ]
y≥3+2√2

y=1/(sinx)^2+2/(cosx)^2
=[(sinx)^2+(cosx)^2]/(sinx)^2+2[(sinx)^2+(cosx)^2]/(cosx)^2
=1+(cotx)^2+2(tanx)^2+2
=2(tanx)^2+(cotx)^2+3
=2(tanx)^2+1/(tanx)^2+3 使用均值不等式有
≥3+2√{(2tanx)^2*[1/(tanx)^2)]}
=3+2√2
故
y≥3+2√2
y的最小值是 3+2√2

4√2