作业帮设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0）为奇函数,其图像在点（1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12,求函数f(x)的解析式.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 01:02:57
设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0）为奇函数,其图像在点（1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12,求函数f(x)的解析式.
设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0）为奇函数,其图像在点（1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,
导函数f'(x)的最小值为-12,求函数f(x)的解析式.
设函数f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0）为奇函数,其图像在点（1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12,求函数f(x)的解析式.
f(x)为R上的奇函数,从而 f(0)=c=0
求导,f'(x)=3ax²+b,
因为直线x-6y-7=0的斜率为1/6,
又点（1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直
从而,f'(1)=3a+b=-6
又导函数f'(x)=3ax²+b有最小值为-12,从而 a>0且b=-12
所以 3a-12=-6,a=2
f(x)=2x³-12x
由于函数为奇函数，则：C=0
f(x)在（1，f(1)）的切线与直线垂直，则此时切线的斜率为：k=-6
又：f'(x)=3ax^2+b
则：3a+b=-6
导函数在x=0时能取到最小值，则：b=-12
所以：a=2
所以：函数的表达式为：f(x)=2x^3-12x
f(x)=ax^3+bx+c is odd function
f(x) =-f(-x)
=> c=0
slope of line : x-6y-7=0 = 1/6
f(x)=ax^3+bx
f'(x) =3ax^2+b
f'(1)= 3a+b = -6 (1)
f''(x) =6ax =0
x=0
f''(0)= b=-12 (2)
from (1) (2)
a=2
f(x)=2x^3-12