证明f(x)=log2（x)+2x的单调性

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 10:52:53

证明f(x)=log2（x)+2x的单调性
证明f(x)=log2（x)+2x的单调性

证明f(x)=log2（x)+2x的单调性
f(x)定义域为（0 ,+∞）
f'(x) = 1/(x ln2) + 2
∵ x > 0
∴ 1/(x ln2) > 0
∴ 1/(x ln2) + 2 > 0 即 f'(x) > 0
∴ f(x)在定义域（0 ,+∞）单调递增

零和负数无对数，x＞0，∴定义域（0，+∞）
令0＜x1＜x2：
f(x2)-f(x1) = log 2【x2】+2x2 - log 2【x1】-2x1
= log 2【x2】- log 2【x1】+2x2 - 2x1
= log 2【x2/x1】+ 2(x2-x1）
∵x2＞x1，∴(x2-x1）＞0，∴2(x2-x1）＞0
∵x2＞x1＞...

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零和负数无对数，x＞0，∴定义域（0，+∞）
令0＜x1＜x2：
f(x2)-f(x1) = log 2【x2】+2x2 - log 2【x1】-2x1
= log 2【x2】- log 2【x1】+2x2 - 2x1
= log 2【x2/x1】+ 2(x2-x1）
∵x2＞x1，∴(x2-x1）＞0，∴2(x2-x1）＞0
∵x2＞x1＞0，∴x2/x1＞1，∴ log 2【x2/x1】＞0
∴log 2【x2/x1】+ 2(x2-x1）＞0
∴f(x2)＞f(x1)
∴f(x)在（0，+∞）上是增函数

收起

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