数学问题:已知定义域为[0,1]的函数y=f(x)满足下列条件1,已知定义域为[0,1]的函数y=f(x)满足下列条件 (1)f(0)=0,f(1)=1 (2)对任何x1,x2∈[0,1],且x1+x2≤1,都有f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)求证:(1)f(x)在[0,1]上是增函

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 19:29:41

数学问题:已知定义域为[0,1]的函数y=f(x)满足下列条件1,已知定义域为[0,1]的函数y=f(x)满足下列条件 (1)f(0)=0,f(1)=1 (2)对任何x1,x2∈[0,1],且x1+x2≤1,都有f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)求证:(1)f(x)在[0,1]上是增函
数学问题:已知定义域为[0,1]的函数y=f(x)满足下列条件
1,已知定义域为[0,1]的函数y=f(x)满足下列条件
(1)f(0)=0,f(1)=1
(2)对任何x1,x2∈[0,1],且x1+x2≤1,都有f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)
求证:(1)f(x)在[0,1]上是增函数
(2)对任意正整数n,都有f(1/2^n)≤1/2^n
(3)对任何x∈[0,1],都有f(x)≤2x
最好解析一下

1、f(0)=0,f(1)=1,对任何x1,x2∈[0,1],且x1+x2≤1, x1+x2∈[0,1], f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2),设1≥x2>x1≥0,则x1+x2>x2>x1,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2) ≥0, f(x1+x2)>f(x2),设x1+x2=x0,x0-x2=x1=△x,f(x2+△x)>f(x2),自变量x增加,函数值随之增加,故f(x)在[0.1]区间内是增函数.

2、1/2<1, 对任意正整数n,随着n越大,值则越小,而f(x)是增函数,故函数值小于等于自变量值.这里用数学归纳法证明一下.

当x=1时,函数是增函数,其值域为[0,1],其最大值为1,根据已知条件,f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2),

f(1/2)+f(1/2)≤f(1/2+1/2),2f(1/2) ≤f(1)=1,f(1/2) ≤1/2,不等式成立.

设x=k时,不等式成立,f(1/2^k)≤1/2^k,

当x=k+1时,1/2^(k+1)=1/2^k*(1/2)<1/2^k,因函数在[0,1]的区间内是增函数,自变量x越小,则函数值越小,故 f(1/2^(k+1))<1/2^(k+1),

∴对任意正整数n,都有f(1/2^n)≤1/2^n

3、要使2x∈[0,1]有意义,则 x∈[0,1/2],设x=x1=x2,x[0,1/2],在f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)式中,用x替代式中的x1和x2,f(x)<=f(2x)/2<=f(2x)<=2x,(因为是增函数),

∴ 对任何x∈[0,1],都有f(x)≤2x,证毕.