作业帮已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞) 且满足三个条件:①f(x*y)=f(x)+f(y) ②f(2)=1 ③当x>1时,f(x)>0(1)求f(1)(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性 (3)判断并证明函数f(x)的单调性(4)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 18:23:27
已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞) 且满足三个条件:①f(x*y)=f(x)+f(y) ②f(2)=1 ③当x>1时,f(x)>0(1)求f(1)(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性 (3)判断并证明函数f(x)的单调性(4)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集
已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞) 且满足三个条件:①f(x*y)=f(x)+f(y) ②f(2)=1 ③当x>1时,f(x)>0
(1)求f(1)
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性
(3)判断并证明函数f(x)的单调性
(4)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集
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已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞) 且满足三个条件:①f(x*y)=f(x)+f(y) ②f(2)=1 ③当x>1时,f(x)>0(1)求f(1)(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性 (3)判断并证明函数f(x)的单调性(4)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集
1,f(1*1)=f(1)+f(1)=> f(1)=2f(1) 所以f(1)=0
2,f(-1*-1)=f(-1)+f(-1) =>f(1)=2f(-1) =>f(-1)=0
又f(-1*x)=f(-1)+f(x) =>f(-x)=f(x) => f(x)是偶函数
3,设x2>x1>1,所以x1*x2>x2>x1
f(x1*x2)=f(x1)+f(x2) => f(x1*x2)-f(x1)=f(x2),
又因为当x>1时,f(x)>0,所以f(x1*x2)-f(x1)=f(x2)>0,又因为x1*x2>x1
所以在(0,+∞) 上,函数为增函数.
又因为函数是偶函数,f(-x)=f(x),所以在(-∞,0)上函数是减函数.
4,f(2*2)=f(2)+f(2) =>f(4)=2
所以 不等式 为 f(x)+f(x-3)≤f(4)
又因为f(x)+f(x-3)=f{x*(x-3)}≤f(4)
当x*(x-3)>0时 ,x在(0,+∞) 上,函数为增函数,所以 x*(x-3)≤4 => -1≤x≤4
x*(x-3)>0 => x3
取交集 -1≤x