作业帮在三角形ABC中,角C等于90度,角B等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PC=2,PB=5,求三角形ABC的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 22:21:09
在三角形ABC中,角C等于90度,角B等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PC=2,PB=5,求三角形ABC的面积
在三角形ABC中,角C等于90度,角B等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PC=2,PB=5,求三角形ABC的面积
在三角形ABC中,角C等于90度,角B等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PC=2,PB=5,求三角形ABC的面积
证明：从p点做AC的垂线,垂足为M,做BC的垂线,垂足为M,设PM=x,AM=y.AC=a
则有：AB=2a,BC=√3a.
根据题意△AMP,△PNC,△PNB都为直角三角形,根据勾股定理可有以下几个等式：
x^2+y^2=3.(1)
x^2+(a-y)^2=4.(2)
(a-y)^2+(√3a-x)^2=25.(3)
（2）-(1)得到：(a-y)^2-y^2＝1
解得：y=(a^2+1)/2a.(4)
（3）-（2得到：(√3a-x)^2-x^2＝2
解得：x=√3(a^2-7)/2a.(5)
把(4)和(5)代入到（1）得到：
〔√3(a^2-7)/2a〕^2+〔(a^2+1)/2a〕^2=3
化简整理后可得：
a^4-14a^2+37=0
a^2=7+2√3.
或a^2=7-2√3.(这时斜边等于2a,斜边的平方等于4a^2＜25,也就是说这时斜边小于5,因此不可能在这个三角形内部做出一条边长为5的线段,所以应当舍去)
S（△ABC）=√3a^2/2=(√3/2)a^2=(6+7√3)/2.
从p点做AC的垂线，垂足为M,做BC的垂线，垂足为K,设PK=x,PM=y.AB=2a
则有：AC=a,BC=√3a.
根据题意有：
在三角形PKC，利用勾股定理得到：
x^2+y^2=4....(1)
同理在三角形PBK,APM中，利用勾股定理得到：
y^2+(a-x)^2=3....(2)
x^2+(√3a-y)^2=25....(3)<...
全部展开
从p点做AC的垂线，垂足为M,做BC的垂线，垂足为K,设PK=x,PM=y.AB=2a
则有：AC=a,BC=√3a.
根据题意有：
在三角形PKC，利用勾股定理得到：
x^2+y^2=4....(1)
同理在三角形PBK,APM中，利用勾股定理得到：
y^2+(a-x)^2=3....(2)
x^2+(√3a-y)^2=25....(3)
由（1）（2）可得到：
x=(a^2+1)/2a.....(4)
由（1）（3）可得到：
y=(3a^2-21)/2√3a.....(5)
(4)(5)代入到（1）
化简得到：
a^4-14a^2+37=0
a^2=7+2√3.
三角形的面积=(1/2)√3a*a=(√3/2)a^2=(6+7√3)/2.
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