作业帮我没有课本,两角和的正弦的证明过程想了解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/23 19:07:08
我没有课本,两角和的正弦的证明过程想了解
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我没有课本,两角和的正弦的证明过程想了解
我们在初中已经求过数轴上两点间的距离,知道这实际上就是求数轴上这两点所表示的两个数的差的绝对值．现在考虑坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(图4-17),从点P1,P2分别作x轴的垂线P1M1,P2M2,与x轴交于点M1(x1,0),M2(x2,0)；再从点P1,P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2,与y轴交于点N1(0,y1),N2(0,y2)．直线P1N1与P2M2相交于点Q．那么
P1Q=M1M2=|x2-x1|,
QP2=N1N2=|y2-y1|．
于是由勾股定理,可得
=|x2-x1|2+|y2-y1|2
=(x2-x1)2+(y2-y1)2．
由此得到平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式
接下来,我们继续考虑如何运用两点间的距离公式,把两角和的余弦cos(α+β)用α,β的三角函数来表示的问题．
在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2,终边交⊙O于点P3,角-β的始边为OP1,终边交⊙O于点P4．这时点P1,P2,P3,P4的坐标分别是
P1(1,0),
P2(cosα,sinα),
P3(cos(α+β),sin(α+β)),
P4(cos(-β),sin(-β))．
由P1P3=P2P4及两点间距离公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)
=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2．
展开并整理,得
2-2cos(α+β)
=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ),
所以
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ． (C(α+β) )
①
这个公式对于任意的角α、β都成立．
在公式C(α+β)中用-β代替β,就得到
cos(α-β)=cosαcos(-β)-sinαsin(-β),
即
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ． (C(α-β))
运用公式C(α-β),又可得到
=sinα；
这就是说,诱导公式
当α为任意角时仍然成立．
再运用C(α+β)和上述诱导公式,便可得到
=sinαcosβ+cosαsinβ,
即
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ． (S(α+β))
在公式S(α+β)中用-β代替β,又可得到
sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β),
即
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ． (S(α-β))