作业帮（10sinα+10cosα+10）/sinαcosα（α∈[30°,60°]）怎样求这个式子的最大值?要求最大值就得把它或者变成sin(...+...),或者变成sin^...+sin...+...的形式,即二次函数可是这个式子怎么变呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/17 23:54:14
（10sinα+10cosα+10）/sinαcosα（α∈[30°,60°]）怎样求这个式子的最大值?要求最大值就得把它或者变成sin(...+...),或者变成sin^...+sin...+...的形式,即二次函数可是这个式子怎么变呢?
（10sinα+10cosα+10）/sinαcosα（α∈[30°,60°]）
怎样求这个式子的最大值?
要求最大值就得把它或者变成sin(...+...),或者变成sin^...+sin...+...的形式,即二次函数
可是这个式子怎么变呢?
（10sinα+10cosα+10）/sinαcosα（α∈[30°,60°]）怎样求这个式子的最大值?要求最大值就得把它或者变成sin(...+...),或者变成sin^...+sin...+...的形式,即二次函数可是这个式子怎么变呢?
设sinα+ cosα=t,
平方得1+2 sinαcosα=t^2,sinαcosα=(t^2-1)/2.
（10sinα+10cosα+10）/sinαcosα
=10(t+1)/[ (t^2-1)/2]
=20/(t-1).
t=sinα+ cosα=√2sin(α+45°) ,α∈[30°,60°],
α+45°∈[75°,105°],
所以t∈[(√3+1)/2,√2].
∴20/(t-1) ∈[20(√2+1),20(√3+1)].
即函数值域为[20(√2+1),20(√3+1)].
设sinα+cosα=t，由于sin²α+cos²α=1恒成立，因此有sinαcosα=(t²-1)/2成立。
原式=2(10t+10)/(t²-1)=20(t+1)/(t²-1)=20/(t-1)
由于α∈[30°，60°]，因此t∈[(√3+1)/2,√2]
因此当t=(√3+1)/2即α=30°或60°时最大为：20+20√3。