作业帮已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n (1)求lim(n→∞)an/Sn (2).已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n(1)求lim(n→∞)an/Sn(2)证明a1/1^2+a2/2^2+a3/3^2.+an/n^2＞3^n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 02:43:27
已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n (1)求lim(n→∞)an/Sn (2).已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n(1)求lim(n→∞)an/Sn(2)证明a1/1^2+a2/2^2+a3/3^2.+an/n^2＞3^n
已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n (1)求lim(n→∞)an/Sn (2).
已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n
(1)求lim(n→∞)an/Sn
(2)证明a1/1^2+a2/2^2+a3/3^2.+an/n^2＞3^n
已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n (1)求lim(n→∞)an/Sn (2).已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n(1)求lim(n→∞)an/Sn(2)证明a1/1^2+a2/2^2+a3/3^2.+an/n^2＞3^n
（1）先把an求出来 用a（n+1）=s（n+1）-sn的公式求出an+1
然后把an求出来 计算过程中保留3^n在外面
很快把an=（2n²+4n）3^(n-1) 求出来 (验证a1=s1=6也符合上式)
然后与sn 相除 得到bn=an/sn=(2n²+4n)/3(n²+n)=[2(n²+n)+2n]/3(n²+n)=(2/3) +[(2)/3(n+1)] (这里是用常数分离得到的)
然后把n除下去得到2/3+...的式子 当n趋向于正无穷时,分母无穷大, 2/3加上的数就无穷小 从而得到lim(n→∞)an/Sn=2/3
(2)令Cn=an/n²=[(2n+4)3^n]/3n
这是第二题的通项 本题的设问不难 只要用数学归纳法,很容易得出答案
下面是归纳法的解答:
当n=1时原命题成立 ,假设当n=k时命题成立,
当n=k+1时,易得a1/1^2+a2/2^2+...+ak/k^2+a(k+1）/(k+1）² ＞
3^k+a(k+1）/(k+1)² （这里要用到假设的结论,不难） 然后直接比较
3^k+a(k+1）/(k+1)²与3^（k+1）的大小 （保留3^k计算比较简便）
得到一个结论：4＞2 显然成立,综上可知,对任意n∈N* 命题成立.
有不明白可以HI我 大家探讨一下
1.=lim(n→∞)(sn-s(n-1))/sn
=lim(n→∞)1-s(n-1)/sn
=1-1/3
=2/3
2.即是证an=2/3*(n+2)/n,其和sn>1
用归纳法很容易证之。