实变函数有什么用啊?实变函数怎么证明它自己是正确的?既然已经有了黎曼积分,那么实变函数的那个积分怎么证明它自己是正确的?实变函数在哪些地方有应用?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 07:06:38

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实变函数提供了一些看法和工具,
用以更细致地研究一些在数学分析中你可以提出但却得不到回答（或者解答非常繁琐）的问题.
我无法理解（或者说认为自己完全领会了）你所谓的“一个积分怎么证明它自己是正确的”.
我将其视为“我们给出一种积分方式的定义,怎么说明这个定义是合理的”.
当我说“合理”时,既包含了纯粹数学上的看法,这个定义的表述本身应当是完全清楚无误的；
也包含了某种必要性,它应当有优越于 Riemann-积分之处,而不是平凡的；
并且最终在主观上,带给人以审美感与实用性.
我想实变中许多关于 Lebesgue-积分的定理可以作为这个问题的答案,像是函数在两种意义下都可积时,他们的积分是相等的；亦或是著名的控制收敛定理,它从某种程度上把数学分析中关于函数列积分与极限交换性的问题从一致收敛中解脱出来.
至于应用,我想除了解决之前说到的一些数学分析中可以提出但却解决不了的问题（比如我印象最深的,什么样的点集可以作为一个导函数的间断点集）,显而易见地实分析是泛函分析和后续其他许多课程的必备基础课.

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