证明cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 23:33:08

证明cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
证明cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

证明cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
可以用向量证,也可以用如下方法
设α,β是锐角,作直径AB=1的圆O,C,D是位于AB两侧的圆周上的两点,连结CD,由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD+AC•BD. (*)
(1)设∠CAB=α,∠DAB=β(如图1),则AC=cosα,BC=sinαAD=cosβ,BD=sinβ,CD=sin(α+β),代入(*)得
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(1)(2)设∠CAB=α,∠DBA=β,α≥β,AC=cosα,BC=sinα,AD=sinβ,BD=cosβ,CD=cos(α-β),
代入(*)得
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(2)
由诱导公式易见(1),(2)对任意角α,β都成立,若用-β替换(1),(2)中的β,则可得
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,(3)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(4)

晕倒 这是公式啊 书上都没得证的

可以证
α+β=90°
因为cos是在直角三角函数里用,所以α和β都不可能是90°的那个角
根据三角形内角和为180°
∴α+β=90°
∴cos(α+β)=0(这个是规定的)
可以设角α对应的边为a,角β对应的边为b,90°的角对应的边为c
那么cosα=b/c,cosβ=a/c
sinα=a/c,sinβ=b/c
然后相减...

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可以证
α+β=90°
因为cos是在直角三角函数里用,所以α和β都不可能是90°的那个角
根据三角形内角和为180°
∴α+β=90°
∴cos(α+β)=0(这个是规定的)
可以设角α对应的边为a,角β对应的边为b,90°的角对应的边为c
那么cosα=b/c,cosβ=a/c
sinα=a/c,sinβ=b/c
然后相减就为0
∴cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
应该就是这样了
我没图
有图就更好说
不过你可以自己画
希望我的回答让你满意

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最基本的公式,用单位圆证明
高中课上就有