三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC是正三角形
三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC是正三角形
三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC是正三角形
三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC是正三角形
反证法
不妨设∠A∠B∠C中∠A最大,则BC大于其它两边(大边对大角),所以EC>BD和AF,所以∠CFE在对应的3个角中最大,所以∠C在对应的三个角中最小
因为∠A在对应的三个角中最大,所以∠AFD在对应的三个角中最大(相等边的底角)
∠AFD+60度=∠FEC+∠C
因为∠AFD>∠FEC,所以∠C>60度
三角形中,最小的角大于60度,是不可能的.所以假设不成立
所以三角形ABC是正三角形
你看看这样行不行
还有没有其他条件?
1)∵△ABC为正三角形
∴∠A=∠B=∠C=60
∵∠1=∠2=∠3
∴△DBE∽△ECF∽△FAD
∴∠BED=∠EFC
∵∠BED+∠DEF+∠3=∠3+∠C+∠EFC=180
∴∠DEF=∠C=60
同理∠EDF=60,∠DFE=60
即△DEF为正三角形。
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=AB=BC,
∵AD=BE=CF,
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD,
∴EC=AF=BD,
∴在△ADF,△BED,△CFE中,
∠A=∠B=∠CAD=BE=CFEC=AF=BD
,
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴D...
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(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=AB=BC,
∵AD=BE=CF,
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD,
∴EC=AF=BD,
∴在△ADF,△BED,△CFE中,
∠A=∠B=∠CAD=BE=CFEC=AF=BD
,
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=DE=EF,
∴△DEF是等边三角形,
(2)证明:(1)的逆命题成立,
已知:△DEF是等边三角形,求证:AD=BE=CF.
证明:∵△DEF是等边三角形,
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°,DF=EF=DE,
∵等边三角形ABC,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
∴∠ADF+∠AFD=120°,∠ADF+∠BDE=120°,∠BDE+∠DEB=120°,∠AFD+∠EFC=120°,
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC,
在△ADF,△BED,△CFE中,
DF=ED=FE∠A=∠B=∠C∠ADF=∠BED=∠CFE
,
∴△ADF≌△BED≌△CFE(AAS),
∴AD=BE=CF.
三角形ABC没有告诉你是等边三角形,上面的解法条件不够
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