绝对值不等式的性质对任意实数a(a≠0)和b,不等式 │a+b│+│a-b│≥│a│(│x-1│+│x-2│)恒成立.求x的取值范围.
绝对值不等式的性质对任意实数a(a≠0)和b,不等式 │a+b│+│a-b│≥│a│(│x-1│+│x-2│)恒成立.求x的取值范围.
绝对值不等式的性质
对任意实数a(a≠0)和b,不等式 │a+b│+│a-b│≥│a│(│x-1│+│x-2│)恒成立.求x的取值范围.
绝对值不等式的性质对任意实数a(a≠0)和b,不等式 │a+b│+│a-b│≥│a│(│x-1│+│x-2│)恒成立.求x的取值范围.
三角不等式,|a+b|+|a-b|>=|a+b+a-b|=|2a|,也就是说只需|x-1|+|x-2|<=2即可.解得0.5<=x<=2.5
1<=x<=2时,│a│(│x-1│+│x-2│)=│a│,而a与b同号的时候│a+b│=│a│+│b│,而│a-b│>=0, │a+b│+│a-b│≥│a│+│b│,a与b异号的时候,│a-b│=│a│+│b│,而│a+b│>=0, │a+b│+│a-b│≥│a│+│b│。
因此无论a,b为何, 总有│a+b│+│a-b│≥│a│+│b│。
所以我们只需要保证 │a│+│b│≥│...
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1<=x<=2时,│a│(│x-1│+│x-2│)=│a│,而a与b同号的时候│a+b│=│a│+│b│,而│a-b│>=0, │a+b│+│a-b│≥│a│+│b│,a与b异号的时候,│a-b│=│a│+│b│,而│a+b│>=0, │a+b│+│a-b│≥│a│+│b│。
因此无论a,b为何, 总有│a+b│+│a-b│≥│a│+│b│。
所以我们只需要保证 │a│+│b│≥│a│(│x-1│+│x-2│)恒成立,这时有(│a│+│b│)/│a│≥│x-1│+│x-2│
1+│b/a│≥│x-1│+│x-2│
x>2时,1+│b/a│≥│x-1│+│x-2│
1+│b/a│≥2x-3
x<=2+│b/2a│
1<=x<=2时,1+│b/a│≥x-1+2-x=1显然恒成立
x<-1时,1+│b/a│≥│x-1│+│x-2│
1+│b/a│≥3-2x
x≥1-│b/2a│
综上所述,x的取值范围是2+│b/2a│≥x≥1-│b/2a│
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