证明 ∑sinπ{√(n×n+a×a)}是收敛还是发散?a不等于0,n取值范围是【1,+∞】且取整数.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/02/23 14:08:40

证明 ∑sinπ{√(n×n+a×a)}是收敛还是发散?a不等于0,n取值范围是【1,+∞】且取整数.
证明 ∑sinπ{√(n×n+a×a)}是收敛还是发散?a不等于0,n取值范围是【1,+∞】且取整数.

证明 ∑sinπ{√(n×n+a×a)}是收敛还是发散?a不等于0,n取值范围是【1,+∞】且取整数.
不好意思,今天看到楼下的回答,发现自己弄错一个符号,这个级数不是正项级数,而是交错级数
令An=sinπ(√(n²+a²))
lim(An/1/n)=lim(n*sinπ(√(n²+a²)))
(根据sinx=(-1)^n*sin(x-nπ))
=lim(-1)^n*(n*sinπ(√(n²+a²)-n))
(进行分子有理化,得)
=lim(-1)^n*(n*sinπ((n²+a²-n²)/(√(n²+a²)+n)))
=lim(-1)^n*(n*sinπ(a²/(√(n²+a²)+n)))
(无穷小替换,得)
=lim(-1)^n*(n*π(a²/(√(n²+a²)+n)))
=(-1)^n*πa²/2 是一个有限值
n趋向+∞时,An等价于(-1)^n*1/n
说明∑An是个交错级数,且n趋向+∞时,∑An等价于∑(-1)^n*1/n
所以是收敛的,而且是条件收敛的
这个证明不是完全严密的,但是只需要根据交错级数的莱布尼茨判别法补充细节就可以了
非常感谢楼下的提醒

楼上的意思是:|sinx|=|sin(x-nπ)|,再用比值判别法来做。