两个同阶群,分别是循环群和非循环群,是否一定不同构?证明之

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 04:24:27

两个同阶群,分别是循环群和非循环群,是否一定不同构?证明之
两个同阶群,分别是循环群和非循环群,是否一定不同构?证明之

两个同阶群,分别是循环群和非循环群,是否一定不同构?证明之
设G为n阶循环群 ,H为n阶群,f:G->H为同构
则f把 G中的所有元素 e,a,a^2,...,a^(n-1) 映为H中的 e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) n个元素.由于H是n阶的,所以{ e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) }就是H的全部元素.于是H也是循环群,由元素f(a)生成
因此与循环群同构的群一定是循环群; 换句话说,非循环群和循环群一定不同构.

设G为n阶循环群 , H为n阶群, f:G->H为同构
则f把 G中的所有元素 e, a, a^2, ..., a^(n-1) 映为H中的 e, f(a), f(a)^2, ..., f(a)^(n-1) n个元素. 由于H是n阶的, 所以{ e, f(a), f(a)^2, ..., f(a)^(n-1) }就是H的全部元素. 于是H也是循环群, 由元素f(a)生成
因此...

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设G为n阶循环群 , H为n阶群, f:G->H为同构
则f把 G中的所有元素 e, a, a^2, ..., a^(n-1) 映为H中的 e, f(a), f(a)^2, ..., f(a)^(n-1) n个元素. 由于H是n阶的, 所以{ e, f(a), f(a)^2, ..., f(a)^(n-1) }就是H的全部元素. 于是H也是循环群, 由元素f(a)生成
因此与循环群同构的群一定是循环群; 换句话说, 非循环群和循环群一定不同构.

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两个同阶群,分别是循环群和非循环群,是否一定不同构?证明之 有限循环群是否是交换群?无限循环群呢? 为什么素数阶群一定是循环群? 循环群的阶是否一定为素数?为什么?请举个例子! 怎样证明无限循环群和任意循环群同态? 证明：有限交换单群一定是素数阶循环群 证明15阶交换群必为循环群 证明：一个循环群一定是交换群 说明循环群与交换群的关系 证明阶为素数的群必是循环群 .12阶循环群是否一定有2阶,3阶,4阶,6阶子群? 循环群必为交换群,但交换群未必是循环群,这句话对吗 怎么证明循环群的子群是循环群 证明循环群的子群也是循环群 如何证明：阶的素数的群一定是循环群啊? 如何证明素数阶群一定是循环群?要用群的相关知识来证明. “除平凡子群外无其他子群的群是素数阶循环群”怎样证明? 证明3阶群必是循环群证明在同构意义下4阶群仅有两种